Operatori idempotenti
Ciao a tutti!
Continua la mia battaglia contro le norme degli operatori. In particolare stavolta stavo ragionando su un'operatore del tipo
[tex](Af)(x) = v_1(x) (v_2, f) + v_2(x) (v_1, f)[/tex]
per due certi vettori fissati tali che [tex](v_1,v_2)=0[/tex]. Questo è sia autoggiunto che idempotente e dunque [tex]A^2 = A^+ A = A A^+ = I[/tex]. Ne posso concludere che la sua norma è 1 visto che
[tex]\lVert A f \rVert^2 = (Af,Af) = (f, A^+A f) = \lVert f \rVert^2[/tex]
Dico bene?
Continua la mia battaglia contro le norme degli operatori. In particolare stavolta stavo ragionando su un'operatore del tipo
[tex](Af)(x) = v_1(x) (v_2, f) + v_2(x) (v_1, f)[/tex]
per due certi vettori fissati tali che [tex](v_1,v_2)=0[/tex]. Questo è sia autoggiunto che idempotente e dunque [tex]A^2 = A^+ A = A A^+ = I[/tex]. Ne posso concludere che la sua norma è 1 visto che
[tex]\lVert A f \rVert^2 = (Af,Af) = (f, A^+A f) = \lVert f \rVert^2[/tex]
Dico bene?
Risposte
Uhm idempotente non voleva dire $T^2=T$? non mi sembra che quello lo sia...poi per carità può esser che stia dicendo una belinata 
Comunque è vero che è autoaggiunto e che $T^2=mathbb{1}$, quindi la tua dimostrazione dovrebbe esser corretta...cioè io l'avrei fatta come te...ma aspettiamo il parere di qualche altro più esperto, magari avremmo sbagliato entrambi
Anzi poichè $T^+T=T T^+=mathbb{1}$ dovrebbe essere unitario appunto per definizione e quindi avere norma 1...
Comunque è vero che è autoaggiunto e che $T^2=mathbb{1}$, quindi la tua dimostrazione dovrebbe esser corretta...cioè io l'avrei fatta come te...ma aspettiamo il parere di qualche altro più esperto, magari avremmo sbagliato entrambi
Anzi poichè $T^+T=T T^+=mathbb{1}$ dovrebbe essere unitario appunto per definizione e quindi avere norma 1...
[tex]$A^+$[/tex] suppongo sia l'operatore aggiunto e lo spazio di Hilbert reale...
Invero si ha:
[tex]$\langle f, A^+g\rangle =\langle Af,g\rangle $[/tex]
[tex]$= \left\langle v_1 \langle v_2,f\rangle +v_2\langle v_1,f\rangle ,g \right\rangle$[/tex]
[tex]$=\langle v_2,f\rangle \langle v_1,g\rangle +\langle v_1,f\rangle \langle v_2,g\rangle$[/tex]
quindi:
[tex]$A^+g=\langle v_2,g\rangle v_1 +\langle v_1,g\rangle v_2 =Ag$[/tex]
ed [tex]$A$[/tex] è autoaggiunto.
Ma non vedo perchè [tex]$A^2=I$[/tex]: infatti:
[tex]$A^2 f=A(Af)=A\left( \langle v_2,f\rangle v_1 +\langle v_1,f\rangle v_2 \right)$[/tex]
[tex]$=\langle v_2,f\rangle Av_1 +\langle v_1,f\rangle Av_2$[/tex]
[tex]$=\langle v_2,f\rangle (v_1 \langle v_2,v_1\rangle +v_2\langle v_1,v_1\rangle) +\langle v_1,f\rangle (v_1 \langle v_2,v_2\rangle +v_2\langle v_1,v_2\rangle )$[/tex]
[tex]$=\langle v_2,f\rangle |v_1|^2 v_2 +\langle v_1,f\rangle |v_2|^2\ v_1$[/tex]...
Forse mi sono perso qualche passaggio?
No, non me lo sono perso.
Infatti [tex]$A^2$[/tex] non può mai essere [tex]$=I$[/tex], perchè [tex]$A$[/tex] è a rango finito, quindi anche [tex]$A^2$[/tex] lo è, mentre [tex]$I$[/tex] non lo è (a meno che lo spazio in cui operi non sia bidimensionale e [tex]$v_1,v_2$[/tex] non siano una base ortonormale di tale spazio: ma in tal caso [tex]$A$[/tex] è un semplice cambiamento di coordinate ortonormali, quindi direi che la relazione [tex]$A^2=I$[/tex] ci può stare...).
Invero si ha:
[tex]$\langle f, A^+g\rangle =\langle Af,g\rangle $[/tex]
[tex]$= \left\langle v_1 \langle v_2,f\rangle +v_2\langle v_1,f\rangle ,g \right\rangle$[/tex]
[tex]$=\langle v_2,f\rangle \langle v_1,g\rangle +\langle v_1,f\rangle \langle v_2,g\rangle$[/tex]
quindi:
[tex]$A^+g=\langle v_2,g\rangle v_1 +\langle v_1,g\rangle v_2 =Ag$[/tex]
ed [tex]$A$[/tex] è autoaggiunto.
Ma non vedo perchè [tex]$A^2=I$[/tex]: infatti:
[tex]$A^2 f=A(Af)=A\left( \langle v_2,f\rangle v_1 +\langle v_1,f\rangle v_2 \right)$[/tex]
[tex]$=\langle v_2,f\rangle Av_1 +\langle v_1,f\rangle Av_2$[/tex]
[tex]$=\langle v_2,f\rangle (v_1 \langle v_2,v_1\rangle +v_2\langle v_1,v_1\rangle) +\langle v_1,f\rangle (v_1 \langle v_2,v_2\rangle +v_2\langle v_1,v_2\rangle )$[/tex]
[tex]$=\langle v_2,f\rangle |v_1|^2 v_2 +\langle v_1,f\rangle |v_2|^2\ v_1$[/tex]...
Forse mi sono perso qualche passaggio?
No, non me lo sono perso.
Infatti [tex]$A^2$[/tex] non può mai essere [tex]$=I$[/tex], perchè [tex]$A$[/tex] è a rango finito, quindi anche [tex]$A^2$[/tex] lo è, mentre [tex]$I$[/tex] non lo è (a meno che lo spazio in cui operi non sia bidimensionale e [tex]$v_1,v_2$[/tex] non siano una base ortonormale di tale spazio: ma in tal caso [tex]$A$[/tex] è un semplice cambiamento di coordinate ortonormali, quindi direi che la relazione [tex]$A^2=I$[/tex] ci può stare...).
Ah vabeh ma penso che v1 e v2 fosse sottointeso che fossero normalizzati, cioè che fosse una base ortonormale del sistema...quindi i modulini nel tuo risultato sarebbero 1...
Ah ecco hai già cambiato il tuo post e scritto quello che voelvo dire io mentre stavo scrivendo...Uffa batsa son stufo che mentre parlo e ci metto ore a scrivere un post con la mia imbranatezza alla tastiera rendi inutile il mio sforzo dattilografo così
"antani":
Ah ecco hai già cambiato il tuo post e scritto quello che voelvo dire io mentre stavo scrivendo...Uffa batsa son stufo che mentre parlo e ci metto ore a scrivere un post con la mia imbranatezza alla tastiera rendi inutile il mio sforzo dattilografo così
Ad ogni modo, tornando IT, nemmeno se [tex]$|v_1|^2=1=|v_2|^2$[/tex] allora [tex]$A$[/tex] è idempotente (nel senso che diceva antani, che poi è quello usuale), ossia non risulta [tex]$A^2=A$[/tex].
Infatti [tex]$A^2f =\langle v_1,f\rangle v_1+\langle v_2,f\rangle v_2 \neq \langle v_2,f\rangle v_1+\langle v_1,f\rangle v_2 =Af$[/tex].
(Ovviamente bisognerebbe fare i conti a mente più lucida di quanto non sia la mia adesso...)
Per calcolare la [tex]$\lVert A^2\rVert$[/tex] basta calcolare un momento la quantità [tex]$|A^2f|^2$[/tex], che per quanto già detto è:
[tex]$|A^2f|^2=\langle A^2f,A^2f\rangle $[/tex]
[tex]$=\langle \langle v_1,f\rangle v_1+\langle v_2,f\rangle v_2 ,\langle v_1,f\rangle v_1+\langle v_2,f\rangle v_2\rangle$[/tex]
[tex]$=(\langle v_1,f\rangle)^2+ (\langle v_2,f\rangle)^2$[/tex]
[tex]$\stackrel{\text{C-S}}{\leq} 2|f|^2$[/tex]
quindi...
"alle.fabbri":
Questo è sia autoggiunto che idempotente e dunque ... Ne posso concludere che la sua norma è 1 ...
Dico bene?
Certo. Un operatore autoaggiunto e idempotente è automaticamente un proiettore ortogonale (per molti autori questa è la definizione di proiettore ortogonale) e tutti i proiettori ortogonali hanno norma 1. Una trattazione si può trovare su Teschl §1.4 "The projection theorem and the Riesz lemma", problema 1.6.
Ok. Grazie a tutti.
Scusate ma mi ricordavo male la definizione di idempotente....e certo questo non lo è...ho scritto delle baggianate...
Però questo non mi fermerà...muahahaha!!!!
Allora fissiamo i dettagli. Con [tex]A^+[/tex] intendo l'aggiunto di [tex]A[/tex] rispetto a [tex](\cdot,\cdot)[/tex]. Lo spazio di Hilbert è sui complessi. E i vettori sono normalizzati oltre che ortogonali, sempre rispetto a [tex](\cdot,\cdot)[/tex]. Se decompongo in somma diretta lo spazio di Hilbert in questo modo [tex]H = \text{Span}(v_1,v_2) \oplus W[/tex] ho che [tex]\forall x \in H[/tex], esisteranno [tex]\alpha, \beta \in \mathbb{C}[/tex] e [tex]w \in W[/tex] tali che [tex]x = \alpha v_1 +\beta v_2 + w[/tex]. Adesso è facile calcolare l'azione dell'operatore, infatti
[tex]Ax = \alpha v_1 + \beta v_2[/tex] *
e dunque
[tex]\lVert Ax \rVert^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2[/tex]
ma siccome
[tex]\lVert x \rVert^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2 + \lVert w \rVert^2[/tex]
ne segue che l'estremo superiore della quantità
[tex]\frac{\lVert Ax \rVert^2}{\lVert x \rVert^2}[/tex]
è in realtà un massimo in corrispondenza di [tex]w=0[/tex]. In corrispondenza di questo vettore [tex]\lVert Ax \rVert = \lVert x \rVert[/tex] e dunque [tex]\lVert A \rVert = 1[/tex]. Fin qui ci sono??
Cambiamo leggermente gli ingredienti per vedere se ho capito.
Con lo stesso prodotto scalare, prendo due vettori [tex]u_1, u_2[/tex] che non siano normalizzati ma siano ortogonali. Definisco [tex]B[/tex] in analogia al precedente, cioè
[tex]Bx = u_1 (u_2 , x) + u_2 (u_1, x)[/tex]
Come prima decompongo l'Hilbert in somma diretta [tex]H = \text{Span}(u_1,u_2) \oplus V[/tex]e dunque posso scrivere in maniera unica [tex]x = a u_1 + b u_2 + v[/tex], per ogni [tex]x \in H[/tex]. Stavolta però
[tex]Ax = a (u_1, u_1) u_2 + b (u_2, u_2) u_1[/tex]
se chiamo
[tex]n_1^2 = (u_1,u_1)[/tex]
[tex]n_2^2 = (u_2,u_2)[/tex]
allora
[tex]\lVert Bx \rVert^2 = ( |a|^2 + |b|^2 ) n_1^2 n_2^2[/tex]
mentre
[tex]\lVert x \rVert^2 = ( |a|^2 + |b|^2 ) n_1^2 n_2^2 + \lVert v \rVert^2[/tex]
e quindi con lo stesso ragionamento di prima concludo che [tex]\lVert B \rVert = 1[/tex].
Torna il mio modo di procedere??
* assumendo che il prodotto scalare sia lineare a destra e antilineare a sinistra.
Scusate ma mi ricordavo male la definizione di idempotente....e certo questo non lo è...ho scritto delle baggianate...
Però questo non mi fermerà...muahahaha!!!!
Allora fissiamo i dettagli. Con [tex]A^+[/tex] intendo l'aggiunto di [tex]A[/tex] rispetto a [tex](\cdot,\cdot)[/tex]. Lo spazio di Hilbert è sui complessi. E i vettori sono normalizzati oltre che ortogonali, sempre rispetto a [tex](\cdot,\cdot)[/tex]. Se decompongo in somma diretta lo spazio di Hilbert in questo modo [tex]H = \text{Span}(v_1,v_2) \oplus W[/tex] ho che [tex]\forall x \in H[/tex], esisteranno [tex]\alpha, \beta \in \mathbb{C}[/tex] e [tex]w \in W[/tex] tali che [tex]x = \alpha v_1 +\beta v_2 + w[/tex]. Adesso è facile calcolare l'azione dell'operatore, infatti
[tex]Ax = \alpha v_1 + \beta v_2[/tex] *
e dunque
[tex]\lVert Ax \rVert^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2[/tex]
ma siccome
[tex]\lVert x \rVert^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2 + \lVert w \rVert^2[/tex]
ne segue che l'estremo superiore della quantità
[tex]\frac{\lVert Ax \rVert^2}{\lVert x \rVert^2}[/tex]
è in realtà un massimo in corrispondenza di [tex]w=0[/tex]. In corrispondenza di questo vettore [tex]\lVert Ax \rVert = \lVert x \rVert[/tex] e dunque [tex]\lVert A \rVert = 1[/tex]. Fin qui ci sono??
Cambiamo leggermente gli ingredienti per vedere se ho capito.
Con lo stesso prodotto scalare, prendo due vettori [tex]u_1, u_2[/tex] che non siano normalizzati ma siano ortogonali. Definisco [tex]B[/tex] in analogia al precedente, cioè
[tex]Bx = u_1 (u_2 , x) + u_2 (u_1, x)[/tex]
Come prima decompongo l'Hilbert in somma diretta [tex]H = \text{Span}(u_1,u_2) \oplus V[/tex]e dunque posso scrivere in maniera unica [tex]x = a u_1 + b u_2 + v[/tex], per ogni [tex]x \in H[/tex]. Stavolta però
[tex]Ax = a (u_1, u_1) u_2 + b (u_2, u_2) u_1[/tex]
se chiamo
[tex]n_1^2 = (u_1,u_1)[/tex]
[tex]n_2^2 = (u_2,u_2)[/tex]
allora
[tex]\lVert Bx \rVert^2 = ( |a|^2 + |b|^2 ) n_1^2 n_2^2[/tex]
mentre
[tex]\lVert x \rVert^2 = ( |a|^2 + |b|^2 ) n_1^2 n_2^2 + \lVert v \rVert^2[/tex]
e quindi con lo stesso ragionamento di prima concludo che [tex]\lVert B \rVert = 1[/tex].
Torna il mio modo di procedere??
* assumendo che il prodotto scalare sia lineare a destra e antilineare a sinistra.
Nessuno mi da un parere sull'ultimo post??
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