Operatori differenziali e cambiamenti di coordinate

[dissonance]

Consideriamo un operatore differenziale $D$, per semplicità lo prendo a coefficienti costanti in modo tale da renderlo esplicito:
$D=sum_{i_1,...,i_n}a_{i_1,...,i_n}(del^(i_1...i_n))/(delx_1^(i_1)...delx_n^(i_n))$.
Questo è perciò un operatore nel senso funzionale del termine: se $f\in C^k(RR^n; RR)$ con $k$ sufficientemente grande possiamo applicare $D$ ad $f$ ottenendo un'altra funzione $Df$.

Ho letto spesso frasi come:

l'espressione dell'operatore $D$ in coordinate polari[/list:u:1f3w92ku]Non riesco a capire che senso attribuire a cose del genere. Se $f:RR^n\toRR$ allora si tratta di una funzione $f=f(x_1, ...,x_n)$ dipendente da $n$ variabili rispetto alle quali supponiamo abbia senso derivare. E la derivazione non è una operazione puntuale: se cambiamo coordinate, diciamo $(x_1,...x_n)=Phi(y_1,...,y_n)$ (esempio: ${(x=rhocostheta), (y=rhosintheta):}$) poi potremo considerare $fcircPhi$, e questa è in generale un'altra funzione rispetto a $f$. E un altro risultato avremo applicando $D$ a $fcircPhi$.

Probabilmente mi mancano delle nozioni di fisica e/o di geometria differenziale. Una mano?

[ciampax]

E' più banale di quello che pensi. Devi dargli semplicemente una interpretazione dal punto di vista della geometria differenziale. La "derivata parziale" in geometria differenziale rappresenta, alternativamente, l'operatore di derivazione e un elemento della base dello spazio tangente. In generale un campo vettoriale dello spazio tangente puoi esprimerlo allora come

$X=\xi^j\cdot\frac{\partial }{\partial x^j}$ (uso la notazione di Einstein per le somme, per cui la sommatoria è sottintesa per indici ripetuti)

e questo, d'altra parte, rappresenta un operatore differenziale del primo ordine (tanto per intenderci, un esempio classico è l'operatore $\nabla$ che ti permette di definire, essendo un "vettore composta da derivate", gli operatori gradiente e divergenza). Ora, se supponi di avere un cambiamento di coordinate locali del tipo $x^j=x^j(y^1,\ldots, y^n)$ ne segue la relazione che permette di esprimere $X$ nelle nuove coordinate

$X=\xi^j\cdot\frac{\partial}{\partial x^j}=\xi^j\cdot \frac{\partial y^k}{\partial x^j}\frac{\partial }{\partial y^k}$

(usando la chain-rule) e quindi, guardando $X$ come un operatore differenziale, hai la sua espressione nel nuovo insieme di coordinate. Prova ad esempio ad esprimere $\nabla$ in coordinate cilindriche e sferiche, e vedi cosa viene fuori.

[Fioravante Patrone1]

dissonance,
la tribù dei fisici ha il suo punto di vista, e questo influenza anche i "parenti serpenti" matematici (anche perché molti sono gli infiltrati).

Io la vedo così.
Immagina una sbarra e considera la funzione che ad ogni punto della sbarra assegna la sua temperatura.
Questa è la " " "vera" " " funzione (dei fisici).
Dopo di che, posso usare un qualunque sistema di coordinate sulla sbarra (ad esempio, usare i metri, o i micron, o magari metterci su una scala logaritmica) e idem vale per la temperatura (ma supponiamo pure di usare solo i Kelvin).
E' ovvio che ottengo, matematicamente, delle funzioni diverse!
Ma i fisici, testardi, sostengono che è la stessa funzione espressa con sistemi di coordinate diverse.


Ben lieto di essere smentito su questa visione naif (?) che ho dei fisici.