Operatori di Proiezione
Ciao ragazzi, una domanda :
Nello studio degli operatori di proiezione, ho un dubbio su una proprietà.
Perchè : $ (alphaP_1+betaP_2)^n=alpha^nP_1+beta^nP_2 $ ?
Grazie in anticipo
Nello studio degli operatori di proiezione, ho un dubbio su una proprietà.
Perchè : $ (alphaP_1+betaP_2)^n=alpha^nP_1+beta^nP_2 $ ?
Grazie in anticipo
Risposte
Chi sono $P_1,P_2$? Dove vivono? Dove proiettano?
Hahah allora, l'esericizio dice :
In uno spazio di Hilbert H si consideri l'operatore A definito dalla relazione
$ Ax=alphau+betav $
con $ alpha,beta inmathbb(C) $ e u,v vettori Ortonormali in H
Pongo : $ P_1x=u $ e $ P_2x=v $ operatori di proiezione ortogonale lungo i vettori u e v.
Calcolare l'operatore $ e^A $
E a un certo punto mi spara fuori quella formula li...
In uno spazio di Hilbert H si consideri l'operatore A definito dalla relazione
$ Ax=alpha
con $ alpha,beta inmathbb(C) $ e u,v vettori Ortonormali in H
Pongo : $ P_1x=
Calcolare l'operatore $ e^A $
E a un certo punto mi spara fuori quella formula li...
Be', allora direi che \(P_1P_2=0=P_2P_1\) (proietta un vettore del piano sull'asse $x$ e poi sull'asse $y$: che cosa ottieni? Generalizza alla proiezione su un sottospazio e sul suo ortogonale); quindi, quella formula segue dallo sviluppo del binomio e dal fatto che la proiezione è idempotente...
Perchè devo prima priettare su x e poi su y?
Nono, scusami, era solo per farti un esempio (nel tuo caso, ovviamente proietti su $u$ e $v$ che sono ortogonali...). Scusami, mi sono espresso male.
Paolo, io ci ho guardato... solo che no riesco a capire.. quando e se hai tempo, potresti darmi qualche indicazione in più?
Grazie mille..
Grazie mille..
Vediamo di fare le cose per bene.
Sia $H$ uno spazio di Hilbert e siano $u,v$ due versori ortogonali. Sia $U$ il sottospazio generato da $u$ e $V$ il sottospazio generato da $v$ e siano $P_u$ e $P_v$ gli operatori di proiezione ortogonale su $U$ e su $V$ rispettivamente.
Ebbene, la prima cosa da osservare è che un qualsiasi operatore di proiezione $P$ è idempotente, nel senso che \(P^2:=P \circ P = P \) (la verifica di questo fatto è semplice). Naturalmente, da ciò segue anche che $P^n = P$ per ogni \( n \ge 1\).
Affermo inoltre che \(P_u \circ P_v = 0\) e anche che vale l'analoga relazione scambiando $u$ con $v$. Questa cosa è evidentissima se pensi, e.g., al piano reale e $u=e_1$, $v=e_2$: se proietti un vettore prima sull'asse $x$ e poi sull'asse $y$ evidentemente ottieni 0. Ma vediamo di essere rigorosi: prendi un vettore $x \in H$ e proiettalo, cioè considera $y:=P_u(x) \in U$. Siccome $u, v$ sono perpendicolari, evidentemente anche $U$ e $V$ lo sono, nel senso che \(\langle a,b\rangle = 0\) per ogni $a \in U$ e per ogni $b \in V$. In particolare, quindi si ha \( \langle y, v \rangle = 0\) e questo ti dice che la proeizione di $y$ su $V$ è il vettore nullo, che è quanto volevamo. Analogamente scambiando $u$ con $v$.
Va bene, abbiamo finito: per definizione
\[
(\alpha P_u + \beta P_v)^{n} := \overbrace{(\alpha P_u + \beta P_v) \circ \ldots \circ (\alpha P_u + \beta P_v)}^{n \text{ volte}}
\]
e si vede, per quanto detto sopra, che da questo prodotto si salvano solo i termini "puri", cioè
\[
(\alpha P_u + \beta P_v)^n = \alpha^n P_u^n + \beta^n P_v^n
\]
che è la formula voluta. Come vedi, si sfrutta in modo essenziale la condizione di ortogonalità (e questo spiega la mia prima domanda, quando ti ho chiesto di precisare chi sono $P_1$ e $P_2$). Spero sia più chiaro.
Sia $H$ uno spazio di Hilbert e siano $u,v$ due versori ortogonali. Sia $U$ il sottospazio generato da $u$ e $V$ il sottospazio generato da $v$ e siano $P_u$ e $P_v$ gli operatori di proiezione ortogonale su $U$ e su $V$ rispettivamente.
Ebbene, la prima cosa da osservare è che un qualsiasi operatore di proiezione $P$ è idempotente, nel senso che \(P^2:=P \circ P = P \) (la verifica di questo fatto è semplice). Naturalmente, da ciò segue anche che $P^n = P$ per ogni \( n \ge 1\).
Affermo inoltre che \(P_u \circ P_v = 0\) e anche che vale l'analoga relazione scambiando $u$ con $v$. Questa cosa è evidentissima se pensi, e.g., al piano reale e $u=e_1$, $v=e_2$: se proietti un vettore prima sull'asse $x$ e poi sull'asse $y$ evidentemente ottieni 0. Ma vediamo di essere rigorosi: prendi un vettore $x \in H$ e proiettalo, cioè considera $y:=P_u(x) \in U$. Siccome $u, v$ sono perpendicolari, evidentemente anche $U$ e $V$ lo sono, nel senso che \(\langle a,b\rangle = 0\) per ogni $a \in U$ e per ogni $b \in V$. In particolare, quindi si ha \( \langle y, v \rangle = 0\) e questo ti dice che la proeizione di $y$ su $V$ è il vettore nullo, che è quanto volevamo. Analogamente scambiando $u$ con $v$.
Va bene, abbiamo finito: per definizione
\[
(\alpha P_u + \beta P_v)^{n} := \overbrace{(\alpha P_u + \beta P_v) \circ \ldots \circ (\alpha P_u + \beta P_v)}^{n \text{ volte}}
\]
e si vede, per quanto detto sopra, che da questo prodotto si salvano solo i termini "puri", cioè
\[
(\alpha P_u + \beta P_v)^n = \alpha^n P_u^n + \beta^n P_v^n
\]
che è la formula voluta. Come vedi, si sfrutta in modo essenziale la condizione di ortogonalità (e questo spiega la mia prima domanda, quando ti ho chiesto di precisare chi sono $P_1$ e $P_2$). Spero sia più chiaro.
Ah........ che dire!? Semplicemente perfetto ! Grazie mille veramente
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