Operatori composti
Salve a tutti ! Sto risolvendo questo esercizio,che però non mi quadra tanto ,perchè secondo me manca qualcosa :
siano $ X, Y $ e $ Z $ spazi normati sul campo $K$ e siano $ S\in L(X,Y) , T \in L(Y,Z) $; si dimostri che l'operatore composto $ TS : X\rightarrow Z $ è limitato e risulta che $ ||TS||<= ||T || ||S|| $.
Che ne pensate ? Grazie !
siano $ X, Y $ e $ Z $ spazi normati sul campo $K$ e siano $ S\in L(X,Y) , T \in L(Y,Z) $; si dimostri che l'operatore composto $ TS : X\rightarrow Z $ è limitato e risulta che $ ||TS||<= ||T || ||S|| $.
Che ne pensate ? Grazie !
Risposte
Penso che non manca niente, solo che tu lo svolga.
Se \(\mathcal{L} (X,Y)\) denota lo spazio degli operatori lineari continui, mi pare non manchi nulla: infatti è:
\[\lVert TSx\rVert_Z \leq \lVert T\rVert_{\mathcal{L} (Y,Z)}\ \lVert Sx\rVert_Y \leq \lVert T\rVert_{\mathcal{L} (Y,Z)}\ \lVert S\rVert_{\mathcal{L} (X,Y)}\ \lVert x\rVert_X\]
e dunque...
\[\lVert TSx\rVert_Z \leq \lVert T\rVert_{\mathcal{L} (Y,Z)}\ \lVert Sx\rVert_Y \leq \lVert T\rVert_{\mathcal{L} (Y,Z)}\ \lVert S\rVert_{\mathcal{L} (X,Y)}\ \lVert x\rVert_X\]
e dunque...
Passo al sup e prendo gli x tali che $ ||x||=1 $ ???
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