Operatori compatti e autoaggiunti in uno spazio di Hilbert
Buongiorno, avrei una domandina veloce di analisi funzionale.
Se ho un operatore compatto e autoaggiunto $A$ definito da uno spazio di Hilbert (separabile) in sè, so che (lo abbiamo dimostrato a lezione) esiste un sistema ortonormale completo di autovettori di $A$, e so costruire una successione di autovalori (reali perchè è autoaggiunto) non nulli che può essere finita o infinita, se è infinita tende a $0$.
La mia domanda veloce è: nel caso sia infinita è vero in generale che il nucleo di $A$ si riduce al solo $0$ e che quindi in quel caso $A$ è invertibile?
Se ho un operatore compatto e autoaggiunto $A$ definito da uno spazio di Hilbert (separabile) in sè, so che (lo abbiamo dimostrato a lezione) esiste un sistema ortonormale completo di autovettori di $A$, e so costruire una successione di autovalori (reali perchè è autoaggiunto) non nulli che può essere finita o infinita, se è infinita tende a $0$.
La mia domanda veloce è: nel caso sia infinita è vero in generale che il nucleo di $A$ si riduce al solo $0$ e che quindi in quel caso $A$ è invertibile?
Risposte
Non c'è nessun buon motivo perché debba essere così; considera ad esempio l'operatore su \(\ell^2\)
\[
Tx := (\lambda_1 x_1, \lambda_2 x_2, \ldots)\,,\qquad
x = (x_1, x_2, \ldots) \in \ell^2,
\]
con \(\lambda_j\to 0\) in modo che \(T\) sia compatto.
Prendi i \(\lambda_j\) tutti distinti, eccetto un numero finito e non nullo di essi che prendi uguali a \(0\).
Vedi subito che il nucleo di \(T\) è non vuoto.
\[
Tx := (\lambda_1 x_1, \lambda_2 x_2, \ldots)\,,\qquad
x = (x_1, x_2, \ldots) \in \ell^2,
\]
con \(\lambda_j\to 0\) in modo che \(T\) sia compatto.
Prendi i \(\lambda_j\) tutti distinti, eccetto un numero finito e non nullo di essi che prendi uguali a \(0\).
Vedi subito che il nucleo di \(T\) è non vuoto.
In effetti il controesempio è molto più semplice di quanto me lo sarei potuto immaginare XD
Grazie Rigel.
Grazie Rigel.
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