Operatori Compatti
Come è noto se T è un operatore compatto su spazi di Hilbert, allora trasforma successioni debolmente convergenti in successioni convergenti in norma. Su "Methods of modern mathematycal physics vol I" di reed-simon, accenna una dimostrazione esattamente a pagina 199 ma non mi convince. Qulacuno può aiutarmi?
Risposte
Cosa non ti è chiaro in quella dimostrazione?
Il fatto di prendere una sottosuccessione che in norma sia maggiore di epsilon. Sinceramente non mi sembra la miglior dimostrazione possibile.
Mah, mi pare una dimostrazione per assurdo di quelle facili.
Prendiamo due spazi \(X, Y\) di Banach (in particolare, di Hilbert) ed un operatore lineare compatto \(T:X\to Y\).
Fissata una successione \((x_n)\subset X\) debolmente convergente, dobbiamo far vedere che \((Tx_n)\subset Y\) è fortemente convergente.
Ora, per Banach-Stainhaus, si sa che \((x_n)\) è limitata in norma in \(X\); diciamo inoltre \(x\in X\) il limite debole di \((x_n)\).
Presa la successione \((Tx_n)\), per ogni \(y^\prime \in Y^\prime\) si trova:
\[
\langle y^\prime , Tx_n \rangle - \langle y^\prime ,Tx\rangle = \langle T^\prime y^\prime, x_n-x\rangle
\]
ove \(T^\prime :Y^\prime \to X^\prime\) è l'aggiunto di \(T\), perciò:
\[
\tag{1} Tx_n \to Tx \quad \text{debolmente in } Y.
\]
Ma da (1) consente di dire che \(Tx_n\to Tx\) fortemente, i.e. che \(\| Tx_n-Tx\|_Y \to 0\).
Infatti, supposto per assurdo che \(Tx_n\not\to Tx\), esisterebbe un'estratta da \((Tx_n)\), chiamiamola \((Tx_{n_k})\), tale che \(\|Tx_{n_k} -Tx\|_Y \not\to 0\), i.e. tale che:
\[
\tag{2} \| Tx_{n_k} -Tx\|_Y \geq \bar{\varepsilon}
\]
per un opportuno \(\bar{\varepsilon} >0\). Essendo \(T\) compatto e \((x_{n_k})\) limitata (poiché estratta da una successione limitata), la successione delle immagini \((Tx_{n_k})\) è un insieme precompatto e ciò implica che essa ha un'estratta di Cauchy in \(\|\cdot \|_Y\); continuando a denotare con \((Tx_{n_k})\) tale estratta, essa convergerà fortemente verso qualche \(y\in Y\), sicché \(Tx_{n_k}\to y\) in norma. Passando al limite la (2) si ottiene evidentemente \(\|y-Tx\|_Y\geq \bar{\varepsilon}>0\) cosicché è \(y\neq Tx\).
Ma ciò è assurdo, poiché \(Tx_{n_k}\) dovrebbe convergere debolmente sia verso \(Tx\), sia verso \(y\) (in quanto successioni convergenti fortemente sono convergenti debolmente allo stesso limite), e ciò viòla il teorema di unicità del limite debole.
Prendiamo due spazi \(X, Y\) di Banach (in particolare, di Hilbert) ed un operatore lineare compatto \(T:X\to Y\).
Fissata una successione \((x_n)\subset X\) debolmente convergente, dobbiamo far vedere che \((Tx_n)\subset Y\) è fortemente convergente.
Ora, per Banach-Stainhaus, si sa che \((x_n)\) è limitata in norma in \(X\); diciamo inoltre \(x\in X\) il limite debole di \((x_n)\).
Presa la successione \((Tx_n)\), per ogni \(y^\prime \in Y^\prime\) si trova:
\[
\langle y^\prime , Tx_n \rangle - \langle y^\prime ,Tx\rangle = \langle T^\prime y^\prime, x_n-x\rangle
\]
ove \(T^\prime :Y^\prime \to X^\prime\) è l'aggiunto di \(T\), perciò:
\[
\tag{1} Tx_n \to Tx \quad \text{debolmente in } Y.
\]
Ma da (1) consente di dire che \(Tx_n\to Tx\) fortemente, i.e. che \(\| Tx_n-Tx\|_Y \to 0\).
Infatti, supposto per assurdo che \(Tx_n\not\to Tx\), esisterebbe un'estratta da \((Tx_n)\), chiamiamola \((Tx_{n_k})\), tale che \(\|Tx_{n_k} -Tx\|_Y \not\to 0\), i.e. tale che:
\[
\tag{2} \| Tx_{n_k} -Tx\|_Y \geq \bar{\varepsilon}
\]
per un opportuno \(\bar{\varepsilon} >0\). Essendo \(T\) compatto e \((x_{n_k})\) limitata (poiché estratta da una successione limitata), la successione delle immagini \((Tx_{n_k})\) è un insieme precompatto e ciò implica che essa ha un'estratta di Cauchy in \(\|\cdot \|_Y\); continuando a denotare con \((Tx_{n_k})\) tale estratta, essa convergerà fortemente verso qualche \(y\in Y\), sicché \(Tx_{n_k}\to y\) in norma. Passando al limite la (2) si ottiene evidentemente \(\|y-Tx\|_Y\geq \bar{\varepsilon}>0\) cosicché è \(y\neq Tx\).
Ma ciò è assurdo, poiché \(Tx_{n_k}\) dovrebbe convergere debolmente sia verso \(Tx\), sia verso \(y\) (in quanto successioni convergenti fortemente sono convergenti debolmente allo stesso limite), e ciò viòla il teorema di unicità del limite debole.
Ho risolto con una dimostrazione che mi piace di più.
Sia ${ x_n}$ una successione di $H$ e $x \in \HH$ tale che $x_n$ converga debolmente ad $x$. Possiamo supporre senza ledere la generalità che $x=0$, per la linearità di $T$ avrò il caso generale.
Poiché $T$ è limitato allora anche $T x_n$ convergerà debolmente a $0$.
Supponiamo che $T$ abbia rango finito e dal momento che in dimensione finita tutte le topologie sono equivalenti allora $Tx_n \to 0$.
Supponiamo ora che $T$ abbia rango infinito. Poiché $T$ è compatto esiste una successione ${T_n}$ di operatori di rango finito tale che $T_n \to T$ in $L(H)$.
\[
||Tx_n|| \leq ||Tx_n - T_n x_n|| + ||T_n x_n||\to 0
\]
Cioè la tesi
Sia ${ x_n}$ una successione di $H$ e $x \in \HH$ tale che $x_n$ converga debolmente ad $x$. Possiamo supporre senza ledere la generalità che $x=0$, per la linearità di $T$ avrò il caso generale.
Poiché $T$ è limitato allora anche $T x_n$ convergerà debolmente a $0$.
Supponiamo che $T$ abbia rango finito e dal momento che in dimensione finita tutte le topologie sono equivalenti allora $Tx_n \to 0$.
Supponiamo ora che $T$ abbia rango infinito. Poiché $T$ è compatto esiste una successione ${T_n}$ di operatori di rango finito tale che $T_n \to T$ in $L(H)$.
\[
||Tx_n|| \leq ||Tx_n - T_n x_n|| + ||T_n x_n||\to 0
\]
Cioè la tesi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo