Operatori chiusi e chiudibili

[5mrkv]

Siano $X,Y$ spazi di Banach e sia $D(A)\subseteq X$ e $A:D(A)\rightarrow Y$ lineare. Non mi è chiaro se c'è un legame fra:

$a.$ $Z=X \oplus Y \Leftrightarrow \forall z \in Z \exists ! x \in X, y \in Y : z=x+y$ e $Z$
$b.$ $X \oplus Y=\{(x,y):x \in X, y \in Y\}$ (spazio vettoriale dal prodotto cartesiano)

Lo chiedo perché di $A$ viene definito il grafico come in $b$ ed a me è capitato di vedere solo $a$. Inoltre

$G(A)=\{(x,y): x\in D(A), y\in Y, y=Ax\}$
$G(A)=D(A)\oplus Y$
$\overline{G(A)}=\overline{D(A)}\oplus \overline{Y}$
(abbiamo detto) $\exists A: D(A)\rightarrow Y$ t.c. $\forall (x,y) \in G(A)$ $y=Ax$

$A$ è chiudibile se
$\exists \overline{A}: \overline{D(A)}\rightarrow \overline{Y}$ t.c. $\forall (x,y) \in \overline{G(A)}$ e $y=\overline{A}x$

$A$ è chiuso se
$\exists \overline{A}: \overline{D(A)}\rightarrow \overline{Y}$ t.c. $\forall (x,y) \in \overline{G(A)}$ e $y=\overline{A}x$
(posso dire) $A=\overline{A} \Rightarrow$
$\overline{G(A)}=G(A) \Rightarrow$
$\overline{D(A)}\oplus \overline{Y} = D(A)\oplus Y \Leftrightarrow \overline{D(A)}=D(A)$ e $\overline{Y}=Y$ ?

Come sono legate queste proprietà all'identificazione dei punti di aderenza come limiti di successioni di un insieme?

$1.$ $x_{n}\in X$ e $x_{n}\rightarrow x \in overline{D(A)}$
$\Rightarrow x_{n} \mapsto y_{n}=Ax_{n} \in Y$ e $y_{n}\rightarrow y \in Y$
(sia) $y'=Ax$, si ha che $A=\overline{A} \Leftrightarrow$ dalle precedenti segue
$y=y'$ e $x \in D(A)$

Di certo deve essere $x \in D(A)$ . Come mai $y=y'$?
Ancora, perché è presa come ipotesi che $y \in Y$ quando in generale
$y \in \overline{Y}$?

[dissonance]

Non lo so più in che lingua te lo devo dire, guarda. Hai detto che \((x, y)\), il limite, deve appartenere a \(G(A)\). Ma quando dici \((x, y)\in G(A)\) stai dicendo implicitamente \(y=Ax\). Che altro c'è da dire?!?

[5mrkv]

\[
\begin{split}
\lim_{n \to \infty}(x_{n},y_{n}=Ax_{n})&= \\
(\lim_{n \to \infty}x_{n},\lim_{n \to \infty}y_{n}=\lim_{n \to \infty}Ax_{n})&= \\
(x,y=\lim_{n \to \infty}Ax_{n})
\end{split}
\]
Si richiede che \(x \in \mbox{D}(A)\) e che \(y\) sia \(A\) di una certa \(x \in \mbox{D}(A)\) ma giuro che non capisco perché deve essere quella \(x\) della successione \(x_{n}\). Cosa me lo impone?

Poi non riesco a distinguere questo dalla continuità per successioni

\[
y=(\lim_{n \to \infty}Ax_{n})\ y=A(\lim_{n \to \infty}x_{n})=Ax
\]

Se non con il fatto che l-uguaglianza non deriva da uno scambio operatoriale ma dalla condizione che non sto capendo. Se no amen, provo a consultare il libro.

[5mrkv]

Bump!

Caso chiuso. Scrivo dopo perch} [ impazzita la tastiera.

Edit:

\[
\begin{split}
\lim_{n \to \infty}(x_{n},y_{n}=Ax_{n})&= \\
(\lim_{n \to \infty}x_{n},\lim_{n \to \infty}y_{n}=\lim_{n \to \infty}Ax_{n})&= \\
(x,y=\lim_{n \to \infty}Ax_{n})&= \\
(x,y=Ax')&= \\
\Rightarrow x=x'
\end{split}
\]Se \(x_{n}\) converge allora la coppia è già determinata \((x,y=Ax)\). La convergenza di \(y_{n}\) serve per verificare che \(y=Ax\) effettivamente esista. Sono cose già dette ma adesso mi sembra di averle capite. Grazie per la pazienza

Aggiungo:

1. \(x \in \mbox{D}(A)\)
2. \(y=Ax\)

Ora capisco come la 2 significhi che \(y_{n}\) converge nell'insieme delle \(y\) appartenenti a \(\mbox{G}(A)\).

[dissonance]

Forse hai messo l'impostazione "tastiera inglese" per sbaglio, è già successo altre volte. Comunque il controesempio classico è l'operatore \(d/dx\) definito su \(C^1([0, 1])\) visto come sottospazio di \(C^0([0, 1]), \lVert \cdot \rVert_{\infty}\). E' chiuso ma non è continuo.

[5mrkv]

"dissonance":Forse hai messo l'impostazione "tastiera inglese" per sbaglio, è già successo altre volte. Comunque il controesempio classico è l'operatore \(d/dx\) definito su \(C^1([0, 1])\) visto come sottospazio di \(C^0([0, 1]), \lVert \cdot \rVert_{\infty}\). E' chiuso ma non è continuo.

E' l'esempio precedente? Comunque vedi che ho editato l'ultimo messaggio

[dissonance]

A me non sembra detto molto bene, ma adesso basta riflettere su questa cosetta tecnica. Meglio fare pratica e poi ci torniamo dopo che avrai toccato bene con mano l'utilità di questa nozione nello studio degli operatori lineari. Ti lascio solo un esempio di un operatore NON chiuso (e non chiudibile):

nello spazio di Hilbert \(L^2([-1, 1])\) sia \(D(A)=C([-1, 1])\) e \(Au=u(0)\). Questo operatore non è chiuso perché esiste una successione \(u_n\in D(A)\) tale che \(u_n \to 0\) e \(Au_n \) converge ad una funzione \(v\) ma \(v \ne 0\), ovvero \((u, v)\ne G(A)\). Una \(u_n\) siffatta è ad esempio la successione di funzioni aventi per grafico un triangolo isoscele di base \(2/n\) e altezza \(1\).

[5mrkv]

"dissonance":A me non sembra detto molto bene, ma adesso basta riflettere su questa cosetta tecnica.

Si è vero. Ma la definizione giusta l'avevi già data tu. Quelle sono cose che non dovevano uscirmi dalla testa, ho fatto troppo casino

Meglio fare pratica e poi ci torniamo dopo che avrai toccato bene con mano l'utilità di questa nozione nello studio degli operatori lineari. Ti lascio solo un esempio di un operatore NON chiuso (e non chiudibile):

nello spazio di Hilbert \(L^2([-1, 1])\) sia \(D(A)=C([-1, 1])\) e \(Au=u(0)\). Questo operatore non è chiuso perché esiste una successione \(u_n\in D(A)\) tale che \(u_n \to 0\) e \(Au_n \) converge ad una funzione \(v\) ma \(v \ne 0\), ovvero \((u, v)\ne G(A)\). Una \(u_n\) siffatta è ad esempio la successione di funzioni aventi per grafico un triangolo isoscele di base \(2/n\) e altezza \(1\).

E' lineare
\(A(u+v)=u(0)+v(0)=A(u)+A(v)\)
\(A(\lambda u)=\lambda u(0)=\lambda A(u)\)

Per la continuità se l'applicazione è lineare dovrebbe bastarmi controllare la limitatezza o dipende dalla numerabilità della base?
\(u(x) \in \mbox{C}([-1,1]) \Rightarrow \exists\) massimo e minimo \(\Rightarrow |u(0)|\leq K\)

Ma se è lineare e continua non dovrebbe essere anche chiudibile? Dove sbaglio?

[dissonance]

Senti, hai le idee proprio confuse sugli operatori lineari. Prenditi una pausa e rivediti i fondamentali sugli operatori limitati sennò qua non andiamo da nessuna parte. Che cosa c'entra la "numerabilità della base"? (Quale base, poi?) E poi, ti pare che questo operatore possa essere continuo? Anzi, come esercizio prova proprio a dimostrare che NON è continuo.

[5mrkv]

Volevo dire esistenza di una base finita ma ho detto un'altra cosa. Mi confondo con un'altro teorema. Se ho due spazi vettoriali normati \(X\) e \(Y\) ed una applicazione lineare \(A:X\rightarrow Y\) allora sono equivalenti

\(1.\) continuità
\(2.\) continuità all'origine
\(3.\) limitatezza

Quindi dovrei provare che \(2.\) o \(3.\) è falso. Prima ho applicato male la \(3.\). Quest'argomento per me è più teoria che pratica quindi ci penso e ti dico.

[5mrkv]

\(\forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(||Au(x)||<\epsilon\) se \(||u||<\delta \ \forall x\) \(^{*}\)
\(\forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(||u(0)||<\epsilon\) se \(||u||<\delta \ \forall x\)
\(\forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(K<\epsilon\) se \(||u||<\delta \ \forall x\)

Condizione che non vale \(\forall \epsilon\) ma solo con \(\epsilon>K\) ?
* è corretto mettere \(\forall x\) alla fine?

[dissonance]

Guarda, a me la matematica tutta formule non piace proprio per niente. Parla nel modo più discorsivo possibile, mettendo le formule solo dove sono indispensabili, altrimenti non capisco.

[5mrkv]

Ok scusa. Come dicevo prima conosco un teorema che dice che se ho due spazi vettoriali normati \(X\) ed \(Y\) ed una applicazione lineare fra questi due spazi, allora sono equivalenti le seguenti affermazioni:

\(1.\) continuità
\(2.\) continuità all'origine
\(3.\) ...

Ho pensato che se mostro che la funzione è discontinua all'origine allora è discontinua anche altrove ma adesso che ci penso il teorema non dice proprio questo quindi non ne sono più tanto convinto.

Quello che volevo dire nel post precedente è: Consideriamo la continuità all'origine \(1\). Dato che la formula vale \(\forall u\) vale anche per un vettore \(u=v+v_{0}\) e sfruttando la linearità della funzione, dalla continuità all'origine segue la continuità per ogni punto \(3\).

\(1. \forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(||Au||<\epsilon\) se \(||u||<\delta \)
\(2. \forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(||A(v+v_{0})||<\epsilon\) se \(||v+v_{0}||<\delta \)
\(3. \forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(||Av+Av_{0}||<\epsilon\) se \(||v+v_{0}||<\delta \)

Vediamo ora che la funzione non è continua all'origine. Applicando \(A\) su \(u\) ottengo \(u(0)\) \(5\) la cui norma nell'origine \(||u(0)||=K\) esiste finita visto che la funzione è continua. La definizione di continuità all'origine \(1\) dice che la formula deve valere \(\epsilon >0\) ma dato che in \(6\) si vede che \(K< \epsilon \) allora la formula non è vera \(\forall \epsilon\).

\(5. \forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(||u(0)||<\epsilon\) se \(||u||<\delta \)
\(6. \forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(K<\epsilon\) se \(||u||<\delta \)

Edit: anzi che dico. Continua significa continua in ogni sui punto quindi se non è continua all'origine non dovrebbe essere continua in quanto non continua in ogni punto del dominio.

[dissonance]

Si, ma che stai facendo? Stai dimostrando che \(A\) non è un operatore continuo? Va bene dimostrare che non è continuo nell'origine, perché come hai capito un operatore è continuo ovunque oppure non è continuo in nessun punto. Tutto il resto sembra la caricatura della matematica: epsilon, delta, "per ogni" ed "esiste" a iosa ma non si capisce che cosa tu stia dicendo.

Il modo più semplice per dimostrare che \(A\) non è continuo è trovare una successione \(u_n \in D(A)\) che tende a \(0\) ma tale che \(Au_n\) non tende a \(0\). Una successione siffatta è quella a cui mi riferivo in uno degli ultimi post.

[5mrkv]

E' vero o no che partendo dalla definizione di continuità come ho detto prima si ottiene che

\(\forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(||Au(x)||<\epsilon\) se \(||u||<\delta \)
\(\forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(||u(0)||<\epsilon\) se \(||u||<\delta\)
\(\forall u \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\) t.c. \(K<\epsilon\) se \(||u||<\delta \)

Questo impone \(\epsilon >K\) ed allora la formula non vale per ogni epsilon maggiore di zero ma solo per ogni epsilon maggiore di \(K\)? Perché se fosse vero allora sarebbe semplice come dimostrazione. Per spiegarmi in un altro modo, se \(||u(0)||=2\) e poni \(\epsilon=1\) non puoi scegliere \(\delta\) tale che \(2<1\).

Il modo più semplice per dimostrare che \(A\) non è continuo è trovare una successione \(u_n \in D(A)\) che tende a \(0\) ma tale che \(Au_n\) non tende a \(0\). Una successione siffatta è quella a cui mi riferivo in uno degli ultimi post.

Più semplice trovare una successione di questo tipo che usare la definizione? Anche se come mi sembra di avere capito con tale successione si mostra anche la non chiudibilità. Il mio problema prima era verificare, come dici tu per esercizio, linearità e continuità.

[dissonance]

Allora mettiamola così. NON puoi dimostrare che \(A\) non è continuo solo in epsilondeltese. Il fatto che questo operatore non sia continuo, infatti, dipende fortemente dalla struttura dello spazio ambiente (\(L^2([-1,1])\)): ad esempio lo stesso operatore, ma ambientato in \(C([-1, 1])\) o in \(L^\infty([-1, 1])\), è continuo.

Quindi la tua dimostrazione è sicuramente sbagliata, come lo è qualsiasi dimostrazione che non coinvolga esplicitamente la norma di \(L^2\). E comunque non è leggibile, punto su cui insisto anche a costo di sembrarti un rompipalle: se tu scrivi il più bel teorema del mondo, ma lo fai in linguaggio ultra tecnico e incomprensibile, non si capisce una mazza e non lo leggerà nessuno. (Vale anche per gli esercizi e gli esami).

Comunque, se non ti piace la traccia di dimostrazione che suggerivo prima (che dimostra anche la non chiudibilità, esatto), puoi provare a mostrare che \(A\) non è limitato. Questo ammonta a dimostrare una delle seguenti cose equivalenti:
[list=1][*:3h41zd0g]Non esiste alcuna costante \(C\) tale che \(\lVert Au\rVert_2 \le C \lVert u \rVert_2\) per ogni \(u \in D(A);\)[/*:m:3h41zd0g]
[*:3h41zd0g]\(\sup\left( \lVert Au\rVert_2 \mid \lVert u\rVert_2=1\right)=+\infty; \)[/*:m:3h41zd0g]
[*:3h41zd0g]Esiste una successione \(u_n \in D(A)\) tale che \(\lVert u_n\rVert_2=1\) ma \(\lVert Au_n\rVert_2\to +\infty;\)[/*:m:3h41zd0g]
[*:3h41zd0g]Esiste una successione \(u_n\in D(A)\) limitata ma tale che \(\lVert Au_n\rVert_2 \to +\infty;\)[/*:m:3h41zd0g]
[*:3h41zd0g]etc...[/*:m:3h41zd0g][/list:o:3h41zd0g]

[5mrkv]

"dissonance":Allora mettiamola così. NON puoi dimostrare che \(A\) non è continuo solo in epsilondeltese. Il fatto che questo operatore non sia continuo, infatti, dipende fortemente dalla struttura dello spazio ambiente (\(L^2([-1,1])\)): ad esempio lo stesso operatore, ma ambientato in \(C([-1, 1])\) o in \(L^\infty([-1, 1])\), è continuo.

Chiariscimi un'ultima cosa.

nello spazio di Hilbert \(L^2([-1, 1])\) sia \(D(A)=C([-1, 1])\) e \(Au=u(0)\).

Quando si definisce un operatore da uno spazio vettoriale \(X\) ad un altro \(Y\) si può specificare un dominio \(\mbox{D}(A)\) che non sia necessariamente \(X\). Ho capito bene se scrivo che in questo esempio che citi

\(A:X \supseteq D(A)\rightarrow Y\)
\(X=L^2([-1, 1])\)
\(D(A)=C([-1, 1])\)
\(Au=u(0)\ \ \ \forall u \in D(A)\)

?

Non voglio scrivere una pila di formule ma essere più chiaro nella domanda che ti faccio Ecco, quando dici che l'operatore ambientato in un altro spazio è continuo, cosa sostituisci in \(D(A)\) e \(X\) ?

[dissonance]

Voglio dire che \(X=D(A)=C([-1, 1])\).

[5mrkv]

Prima la norma era \(||u(x)||_{2}=(\int_{-1}^{1}|u(x)|^{2}\mbox{d}x)^{1/2}\) ? Su \(C\) invece che norma si è soliti usare? Perché penso di non avere capito la differenza fra

\(X=L^{2}\)
\(D(A)=C\)

e

\(X=C\)
\(D(A)=C\)

A meno che boh, non differiscano le norme? O c'è dell'altro?

[dissonance]

Su \(C([-1, 1])\) la norma è quella del sup.