Operatori chiusi e chiudibili
Siano $X,Y$ spazi di Banach e sia $D(A)\subseteq X$ e $A:D(A)\rightarrow Y$ lineare. Non mi è chiaro se c'è un legame fra:
$a.$ $Z=X \oplus Y \Leftrightarrow \forall z \in Z \exists ! x \in X, y \in Y : z=x+y$ e $Z$
$b.$ $X \oplus Y=\{(x,y):x \in X, y \in Y\}$ (spazio vettoriale dal prodotto cartesiano)
Lo chiedo perché di $A$ viene definito il grafico come in $b$ ed a me è capitato di vedere solo $a$. Inoltre
$G(A)=\{(x,y): x\in D(A), y\in Y, y=Ax\}$
$G(A)=D(A)\oplus Y$
$\overline{G(A)}=\overline{D(A)}\oplus \overline{Y}$
(abbiamo detto) $\exists A: D(A)\rightarrow Y$ t.c. $\forall (x,y) \in G(A)$ $y=Ax$
$A$ è chiudibile se
$\exists \overline{A}: \overline{D(A)}\rightarrow \overline{Y}$ t.c. $\forall (x,y) \in \overline{G(A)}$ e $y=\overline{A}x$
$A$ è chiuso se
$\exists \overline{A}: \overline{D(A)}\rightarrow \overline{Y}$ t.c. $\forall (x,y) \in \overline{G(A)}$ e $y=\overline{A}x$
(posso dire) $A=\overline{A} \Rightarrow$
$\overline{G(A)}=G(A) \Rightarrow$
$\overline{D(A)}\oplus \overline{Y} = D(A)\oplus Y \Leftrightarrow \overline{D(A)}=D(A)$ e $\overline{Y}=Y$ ?
Come sono legate queste proprietà all'identificazione dei punti di aderenza come limiti di successioni di un insieme?
$1.$ $x_{n}\in X$ e $x_{n}\rightarrow x \in overline{D(A)}$
$\Rightarrow x_{n} \mapsto y_{n}=Ax_{n} \in Y$ e $y_{n}\rightarrow y \in Y$
(sia) $y'=Ax$, si ha che $A=\overline{A} \Leftrightarrow$ dalle precedenti segue
$y=y'$ e $x \in D(A)$
Di certo deve essere $x \in D(A)$ . Come mai $y=y'$?
Ancora, perché è presa come ipotesi che $y \in Y$ quando in generale
$y \in \overline{Y}$?
$a.$ $Z=X \oplus Y \Leftrightarrow \forall z \in Z \exists ! x \in X, y \in Y : z=x+y$ e $Z$
$b.$ $X \oplus Y=\{(x,y):x \in X, y \in Y\}$ (spazio vettoriale dal prodotto cartesiano)
Lo chiedo perché di $A$ viene definito il grafico come in $b$ ed a me è capitato di vedere solo $a$. Inoltre
$G(A)=\{(x,y): x\in D(A), y\in Y, y=Ax\}$
$G(A)=D(A)\oplus Y$
$\overline{G(A)}=\overline{D(A)}\oplus \overline{Y}$
(abbiamo detto) $\exists A: D(A)\rightarrow Y$ t.c. $\forall (x,y) \in G(A)$ $y=Ax$
$A$ è chiudibile se
$\exists \overline{A}: \overline{D(A)}\rightarrow \overline{Y}$ t.c. $\forall (x,y) \in \overline{G(A)}$ e $y=\overline{A}x$
$A$ è chiuso se
$\exists \overline{A}: \overline{D(A)}\rightarrow \overline{Y}$ t.c. $\forall (x,y) \in \overline{G(A)}$ e $y=\overline{A}x$
(posso dire) $A=\overline{A} \Rightarrow$
$\overline{G(A)}=G(A) \Rightarrow$
$\overline{D(A)}\oplus \overline{Y} = D(A)\oplus Y \Leftrightarrow \overline{D(A)}=D(A)$ e $\overline{Y}=Y$ ?
Come sono legate queste proprietà all'identificazione dei punti di aderenza come limiti di successioni di un insieme?
$1.$ $x_{n}\in X$ e $x_{n}\rightarrow x \in overline{D(A)}$
$\Rightarrow x_{n} \mapsto y_{n}=Ax_{n} \in Y$ e $y_{n}\rightarrow y \in Y$
(sia) $y'=Ax$, si ha che $A=\overline{A} \Leftrightarrow$ dalle precedenti segue
$y=y'$ e $x \in D(A)$
Di certo deve essere $x \in D(A)$ . Come mai $y=y'$?
Ancora, perché è presa come ipotesi che $y \in Y$ quando in generale
$y \in \overline{Y}$?
Risposte
Se \(X,Y\) sono spazi vettoriali, lo spazio \(Z=X\times Y\) si può dotare delle operazioni di somma e prodotto per lo scalare usando le operazioni di \(X,Y\). Questo spazio \(Z\) si indica con \(X\oplus Y\) e si chiama somma diretta di \(X\) e \(Y\).
La simbologia e la nomenclatura si possono giustificare come segue: se \(X,Y\) sono sottospazi di \(V\) tali che \(X\cup Y=\{0_V\}\), è evidentissimo che si può costruire un'isomorfismo tra \(Z\) e la "classica" somma diretta dei sottospazi \(X\) ed \(Y\).
La simbologia e la nomenclatura si possono giustificare come segue: se \(X,Y\) sono sottospazi di \(V\) tali che \(X\cup Y=\{0_V\}\), è evidentissimo che si può costruire un'isomorfismo tra \(Z\) e la "classica" somma diretta dei sottospazi \(X\) ed \(Y\).
Ok. Per quanto riguarda la parte delle successioni?
@5mrkv: Se posso permettermi un consiglio, scrivi un po' più parole e un po' meno formule. E' molto faticoso leggere i tuoi post. Io ad esempio non ho neanche capito quale sia il problema. Forse non ti è chiara l'equivalenza tra le due definizioni di "operatore chiuso", una in termini di grafico e l'altra in termini di successioni?
Scusa 
Forse non ti è chiara l'equivalenza tra le due definizioni di "operatore chiuso", una in termini di grafico e l'altra in termini di successioni?Esattamente.
Dire che \((A, D(A))\) ha il grafico chiuso equivale a dire che, comunque tu prenda una successione convergente di elementi del grafico, il limite è ancora un elemento del grafico. Traduci in formule questa frase e vedrai che salterà fuori proprio la caratterizzazione degli operatori chiusi in termini di successioni.
(Ma questo forse lo sapevi già, mi sa che il tuo dubbio è più sottile sul passaggio da un operatore alla sua chiusura).
(Ma questo forse lo sapevi già, mi sa che il tuo dubbio è più sottile sul passaggio da un operatore alla sua chiusura).
Provo ad essere più specifico.
Sia $x_{n}\in D(A)$ e $x_{n}\rightarrow x \in overline{D(A)}$
$\Rightarrow$ risulta definita una successione $y_{n}$: infatti $x_{n} \mapsto Ax_{n}=y_{n} \in Y$ e $y_{n}\rightarrow y \in Y$ *
Sia $y'=Ax$.
(!) La definizione dice che $A$ è chiuso $\Leftrightarrow$ dalle precedenti segue
$1.$ $y=y'$
$2.$ $x \in D(A)$
Allora:
$a.$ Non capisco come venga fuori la condizione $1$ a partire dalla chiusura topologica del grafico.
$b.$ La $2$ invece mi sembra perfettamente ragionevole, $\overline{D(A)}=D(A)$.
$c.$ *perché non viene richiesto che $\overline{Y}=Y$ ? E' una condizione sovrabbondante?
Sia $x_{n}\in D(A)$ e $x_{n}\rightarrow x \in overline{D(A)}$
$\Rightarrow$ risulta definita una successione $y_{n}$: infatti $x_{n} \mapsto Ax_{n}=y_{n} \in Y$ e $y_{n}\rightarrow y \in Y$ *
Sia $y'=Ax$.
(!) La definizione dice che $A$ è chiuso $\Leftrightarrow$ dalle precedenti segue
$1.$ $y=y'$
$2.$ $x \in D(A)$
Allora:
$a.$ Non capisco come venga fuori la condizione $1$ a partire dalla chiusura topologica del grafico.
$b.$ La $2$ invece mi sembra perfettamente ragionevole, $\overline{D(A)}=D(A)$.
$c.$ *perché non viene richiesto che $\overline{Y}=Y$ ? E' una condizione sovrabbondante?
Come ti ha già spiegato dissonance, per dimostrare che il grafico \(G(A)\) di \(A\) è chiuso devi far vedere che, presa una qualsiasi successione \((z_n)_n\) in \(G(A)\) convergente a \(z\), allora \(z \in G(A)\).
Cos'è una successione \((z_n)_n\) in \(G(A)\)? E' semplicemente una successione t.c. \(z_n = (x_n, y_n)\), con \(x_n\in D(A)\) e \(y_n = A x_n\). Supponendo che \(z_n = (x_n, y_n)\to z = (x,y)\), per far vedere che \(z \in G(A)\) devi far vedere che \(x\in D(A)\) e \( y = Ax\).
Cos'è una successione \((z_n)_n\) in \(G(A)\)? E' semplicemente una successione t.c. \(z_n = (x_n, y_n)\), con \(x_n\in D(A)\) e \(y_n = A x_n\). Supponendo che \(z_n = (x_n, y_n)\to z = (x,y)\), per far vedere che \(z \in G(A)\) devi far vedere che \(x\in D(A)\) e \( y = Ax\).
Perché
$y=Ax$
$y'=\lim_{n \to \infty}Ax_{n}$
$\Rightarrow y=y'$ ?
Questa cosa è sempre vera? Ovvero, senza che ci siano problemi con gli insiemi, se $x_{n}\rightarrow x$ allora $Ax=\lim_{n \to \infty}Ax_{n}$?
$y=Ax$
$y'=\lim_{n \to \infty}Ax_{n}$
$\Rightarrow y=y'$ ?
Questa cosa è sempre vera? Ovvero, senza che ci siano problemi con gli insiemi, se $x_{n}\rightarrow x$ allora $Ax=\lim_{n \to \infty}Ax_{n}$?
Ma no, non è sempre vero, e sennò tutti gli operatori sarebbero continui e non ci sarebbe bisogno di tutta questa teoria. Sottolineo anche un'altra cosa: tu dici \(\overline{D(A)}=D(A)\), il che è di solito falso. Riordina un po' le idee, ti stai confondendo.
"dissonance":Continuità per successioni. Me ne ero completamente scordato.
Ma no, non è sempre vero, e sennò tutti gli operatori sarebbero continui e non ci sarebbe bisogno di tutta questa teoria.
Sottolineo anche un'altra cosa: tu dici \(\overline{D(A)}=D(A)\), il che è di solito falso.Intendevo dire che accade quando l'operatore è chiuso.
Riordina un po' le idee, ti stai confondendo.Vero.
Non è nemmeno questione di continuità per successioni. Prendi l'esempio più classico di operatore chiuso: \(Af=df/dx\) definito sul dominio \(D(A)=C^1([0, 1])\subset C([0, 1])\). Si intende che la norma su \(C([0,1])\) è quella della convergenza uniforme. Questo qua non è un operatore limitato: prova a vedere cosa succede alla norma di \(A(\sin(nx))\). Quindi \(A\) non è continuo. Però \(A\) verifica questa proprietà: se prendi una successione \(f_n \in D(A)\) convergente ad \(f\in C([0,1])\) e tale che anche \(Af_n\) è convergente, allora tutto va come ci piace che vada: \(f\in D(A)\) e \(Af_n \to Af\). E' una sorta di "mezza continuità" che poi si è pensato di ribattezzare "chiusura", visto che equivale alla proprietà topologica di chiusura del grafico nel prodotto.
Proprio non ci arrivo. Siano \(X\) e \(Y\) spazi topologici e
\(C \subseteq X\)
\(D \subseteq Y\)
\(x_{n}\in C\) e \(x_{n} \rightarrow x\)
\(y_{n}\in D\) e \(y_{n} \rightarrow y\)
Se \(\forall\) coppia di successioni di questo tipo
\(x \in C\)
\(y \in D\)
\(\Rightarrow C \oplus D\) come definito precedentemente è uno spazio chiuso.
Questo per due sottoinsiemi generici di due spazi topologici. Se introduciamo una applicazione lineare fra gli spazi precedenti che ora sono di Banach
\(A:C\rightarrow D\subseteq Y\)
Le precedenti sono identiche ma bisogna ricordasi che c'è un legame fra le coppie:
\(C \subseteq X\)
\(D \subseteq Y\)
\(x_{n}\in C\) e \(x_{n} \rightarrow x\) (specificare \(x_{n}\) determina la seconda successione \(y_{n}\) )
\(y_{n}=Ax_{n}\in D\) e \(y_{n}=Ax_{n} \rightarrow y\)
Se \(\forall\) coppia di successioni di questo tipo
\(x \in C\)
\(y \in D\)
\(\Rightarrow C \oplus D\) come definito precedentemente è uno spazio chiuso.
Ma l'appartenere di \(y\) a \(D\), immagine di \(A\), comporta che per un qualche \(x'\) si abbia \(y=Ax'\). (Dato che \(x'\) è in uno spazio chiuso allora esiste una successione \(x'_{n}\rightarrow x'\) ma non so se serve a qualcosa ricordarlo). La domanda diventa: come mai vale \(x=x'\) così che io possa passare dalle condizioni
\(x \in C\)
\(y \in D\)
alle condizioni
\(x \in C\)
\(y =A x'=Ax\)
mostrate nei testi?
\(C \subseteq X\)
\(D \subseteq Y\)
\(x_{n}\in C\) e \(x_{n} \rightarrow x\)
\(y_{n}\in D\) e \(y_{n} \rightarrow y\)
Se \(\forall\) coppia di successioni di questo tipo
\(x \in C\)
\(y \in D\)
\(\Rightarrow C \oplus D\) come definito precedentemente è uno spazio chiuso.
Questo per due sottoinsiemi generici di due spazi topologici. Se introduciamo una applicazione lineare fra gli spazi precedenti che ora sono di Banach
\(A:C\rightarrow D\subseteq Y\)
Le precedenti sono identiche ma bisogna ricordasi che c'è un legame fra le coppie:
\(C \subseteq X\)
\(D \subseteq Y\)
\(x_{n}\in C\) e \(x_{n} \rightarrow x\) (specificare \(x_{n}\) determina la seconda successione \(y_{n}\) )
\(y_{n}=Ax_{n}\in D\) e \(y_{n}=Ax_{n} \rightarrow y\)
Se \(\forall\) coppia di successioni di questo tipo
\(x \in C\)
\(y \in D\)
\(\Rightarrow C \oplus D\) come definito precedentemente è uno spazio chiuso.
Ma l'appartenere di \(y\) a \(D\), immagine di \(A\), comporta che per un qualche \(x'\) si abbia \(y=Ax'\). (Dato che \(x'\) è in uno spazio chiuso allora esiste una successione \(x'_{n}\rightarrow x'\) ma non so se serve a qualcosa ricordarlo). La domanda diventa: come mai vale \(x=x'\) così che io possa passare dalle condizioni
\(x \in C\)
\(y \in D\)
alle condizioni
\(x \in C\)
\(y =A x'=Ax\)
mostrate nei testi?
Tu sbagli perché pensi di poter esprimere il grafico di un operatore come un prodotto cartesiano. Non è così: pensa ad una funzione \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), ti pare che il suo grafico sia un prodotto cartesiano? Quindi lascia stare quelle considerazioni con gli spazi topologici, tutto quel casino là. Ti ripeto, si parla di "chiusura" solo per dare una caratterizzazione convenientemente sintetica della proprietà di "quasi-continuità" espressa in termini di successioni. E' quella la proprietà importante.
"dissonance":Non tutto il prodotto cartesiano ma un suo sottoinsieme. Quando scrivo di \(C\) e \(D\) nella seconda parte vedi che li considero dominio e immagine della applicazione \(A\).
Tu sbagli perché pensi di poter esprimere il grafico di un operatore come un prodotto cartesiano. Non è così: pensa ad una funzione \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), ti pare che il suo grafico sia un prodotto cartesiano?
Quindi lascia stare quelle considerazioni con gli spazi topologici, tutto quel casino là. Ti ripeto, si parla di "chiusura" solo per dare una caratterizzazione convenientemente sintetica della proprietà di "quasi-continuità" espressa in termini di successioni. E' quella la proprietà importante.Ed è quella che voglio capire. Fammi vedere come passeresti dalla definizione di chiusura topologica del grafico
seA quella che viene data nei libri
\(x_{n}\in C\) e \(x_{n} \rightarrow x\)
\(y_{n}=A_{n}x\in D\) e \(y_{n}=A_{n}x \rightarrow y\)
allora
\(x \in C\)
\(y \in D\)
seChe è quello che mi chiedevi nella prima pagina
\(x_{n}\in C\) e \(x_{n} \rightarrow x\)
\(y_{n}=A_{n}x\in D\) e \(y_{n}=A_{n}x \rightarrow y\)
allora
\(x \in C\)
\(y=Ax\)
"dissonance":
Dire che \((A, D(A))\) ha il grafico chiuso equivale a dire che, comunque tu prenda una successione convergente di elementi del grafico, il limite è ancora un elemento del grafico. Traduci in formule questa frase e vedrai che salterà fuori proprio la caratterizzazione degli operatori chiusi in termini di successioni.
(Ma questo forse lo sapevi già, mi sa che il tuo dubbio è più sottile sul passaggio da un operatore alla sua chiusura).
Guarda, adesso purtroppo ho da fare. Hai cercato sul primo volume di Methods of modern mathematical physics di Reed & Simon? Vedi nelle prime pagine del capitolo "Unbounded operators". Un'alternativa online è l'Eidelman - Milman -Tsolomitis:
http://books.google.it/books?id=bzUgKyo ... &q&f=false
Vedi un po' se trovi risposta qua e sennò ne riparliamo in un altro momento. Comunque, ti ripeto: dal punto di vista operativo la definizione che ti serve è quella con le successioni, non l'altra.
http://books.google.it/books?id=bzUgKyo ... &q&f=false
Vedi un po' se trovi risposta qua e sennò ne riparliamo in un altro momento. Comunque, ti ripeto: dal punto di vista operativo la definizione che ti serve è quella con le successioni, non l'altra.
Va bene ti ringrazio. Ci guarderò.
Ci sei arrivato? Forse ho capito cosa ti blocca. Scrivere \((x_n, y_n) \in G(A)\) è esattamente la stessa cosa che scrivere \(x_n \in D(A)\ \text{e}\ y_n=Ax_n\). Inoltre, in un prodotto cartesiano, dire \(a_n, b_n)\to (a, b)\) equivale a dire \(a_n \to a, b_n \to b\).
Quindi dire
\[(x_n, y_n) \in G(A),\ (x_n, y_n)\to (x, y) \Rightarrow (x, y)\in G(A)\]
è una maniera compatta per dire tutte le cose seguenti:
[list=1]se si verificano le due condizioni
[*:8uu2x1tr]\(x_n\in D(A), y_n=Ax_n;\)[/*:m:8uu2x1tr]
[*:8uu2x1tr]\(x_n \to x, y_n \to y\); [/*:m:8uu2x1tr][/list:o:8uu2x1tr]
[list=1]allora
[*:8uu2x1tr]\(x \in D(A)\);[/*:m:8uu2x1tr]
[*:8uu2x1tr]\(y=Ax\).[/*:m:8uu2x1tr][/list:o:8uu2x1tr]
Spero che stavolta sia chiaro. E' una cosa banalissima comunque, non ti ci intestardire troppo.
Quindi dire
\[(x_n, y_n) \in G(A),\ (x_n, y_n)\to (x, y) \Rightarrow (x, y)\in G(A)\]
è una maniera compatta per dire tutte le cose seguenti:
[list=1]se si verificano le due condizioni
[*:8uu2x1tr]\(x_n\in D(A), y_n=Ax_n;\)[/*:m:8uu2x1tr]
[*:8uu2x1tr]\(x_n \to x, y_n \to y\); [/*:m:8uu2x1tr][/list:o:8uu2x1tr]
[list=1]allora
[*:8uu2x1tr]\(x \in D(A)\);[/*:m:8uu2x1tr]
[*:8uu2x1tr]\(y=Ax\).[/*:m:8uu2x1tr][/list:o:8uu2x1tr]
Spero che stavolta sia chiaro. E' una cosa banalissima comunque, non ti ci intestardire troppo.
No, non ci ho ancora guardato. Il complesso è chiaro. L'unica cosa che non mi è chiara è \(2.\):
[list=1]alloraIo quella condizione l'avrei scritta così
[*:20zijekv]\(x \in D(A)\);[/*:m:20zijekv]
[*:20zijekv]\(y=Ax\)!![/*:m:20zijekv][/list:o:20zijekv]
Tutto quì. Vorrei capire come fai tu a passare dal mio punto \(2\) al tuo punto \(2\) quotato sopra e dire che \(y=Ax\).
[list=1]allora
[*:20zijekv]\(x \in D(A)\);[/*:m:20zijekv]
[*:20zijekv]\(y \in Im(A)\) Dato che \(G(A)=\{(x,y):x \in D(A), y=Ax \}\) quindi \(y\in Im(A)\). [/*:m:20zijekv][/list:o:20zijekv]
E dalle! 
Ma scusa, ti pare che \(G(A)=D(A)\times \mathrm{Im}(A)\) ? No!!
Invece \(G(A)=\{(x, y) \mid x \in D(A), y=Ax\}\). Sei d'accordo su quest'ultima formula? Se si, allora perché non dovresti essere d'accordo su questa: \((x, y)\in G(A) \iff x \in D(A), y=Ax\), che è esattamente la stessa cosa? Proprio uguale identica.
Ma scusa, ti pare che \(G(A)=D(A)\times \mathrm{Im}(A)\) ? No!! Invece \(G(A)=\{(x, y) \mid x \in D(A), y=Ax\}\). Sei d'accordo su quest'ultima formula? Se si, allora perché non dovresti essere d'accordo su questa: \((x, y)\in G(A) \iff x \in D(A), y=Ax\), che è esattamente la stessa cosa? Proprio uguale identica.
"dissonance":Io ho scritto che \(y \in \mbox{Im}(A)\). Non voglio dire che il grafico è il prodotto cartesiano di quei due insiemi ma se \((\cdot,y) \in \mbox{G}(A)\) allora certo \(y \in \mbox{Im}(A)\) no?
E dalle!
Si.
Invece \(G(A)=\{(x, y) \mid x \in D(A), y=Ax\}\). Sei d'accordo su quest'ultima formula?
Se si, allora perché non dovresti essere d'accordo su questa: \((x, y)\in G(A) \iff x \in D(A), y=Ax\), che è esattamente la stessa cosa? Proprio uguale identica.Si sono d'accordo con questa formula. Ripeto cosa non capisco. Ho due insiemi. Perché siano chiusi chiedo che ogni successione appartenente nell'insieme converga all'interno dell'insieme. Come hai detto tu ho
\(x_{n}\rightarrow x\)
\(y_{n}=Ax_{n}\rightarrow y\)
Chiedo che: le \(x\) appartengano a \(\mbox{D}(A)\) e una stessa condizione di appartenenza per un certo insieme dovrebbe essere per la \(y\). Dato che le \(y\) sono tali che \(y=Ax\) di certo quella \(y\) limite della successione \(y_{n}\) sara \(y=Ax'\) per un qualche \(x'\), ma perché proprio \(x=x'\) con \(x\) limite della successione \(x_{n}\) precedente?
Edit: si è vero, non è corretta la condizione \(y_{n}\rightarrow y \in \mbox{Im}(A)\).
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