Operatori Autoaggiunti - Teorema Spettrale

[Bombadil]

Salve stavo cercando di risolvere un esercizio a seguito dello studio del Teorema Spettrale per operatori autoaggiunti compatti in spazi di Hilbert.

L'esercizio dice:

Sia $ H=l^2(mathbbN) $ ,

$ (A)_n=u_n1/n^2 $
$ (B)_n=u_{n-1}1/n^2 $ con $ (B)_1=0 $

dimostra che:
(a) $A$ è compatto autoaggiunto e determina autovalori e autovettori
(b) $B$ è compatto, non ammette autovalori e determina lo spettro di B.

Ora il mio tentativo di soluzione

(a)
per dimostrare che è un compatto lo "taglio" di modo da avere un operatore di rango finito più una coda, se la coda è "piccola" ho la compattezza dell'operatore come limite di operatori compatti (quelli di rango finito)

quindi definito l'operatore $(A_Nu)_k=(Au)_k$ per $kleN$ e $(A_Nu)_k=0$ per $k>N$ ho
$ || A-A_N||^2 =sum_(k>N)u_k1/k^2le || u||^2sum_(k>N)1/k^2 $ dunque $A_N$ tende a $A$.

per l'autoaggiunzione voglio vedere che $(Au,v)=(u,Av)$ ma questa è una verifica immediata col prodotto scalare in $l^2$ essendo
$(Au,v)=sum u_n/n^2*v_n=sum u_n*v_n/n^2=(u,Av)$

Autovalori e autofunzioni sono chiaramente

$e_j=(0,0,ldots,0,1,0,ldots)$ con l'1 in posizione j-esima
e $ lambda _j=1/j^2 $

in effetti torna il risultato del teorema per cui esiste una base tutta di autovettori e gli autovalori corrispondenti sono tali da avere norma infinitesima.

(b)
per la compattezza è del tutto analogo.

per mostrare che non ammette autovalori basta far vedere che non è autoaggiunto? o è solo una cdz sufficiente? cioè se so che l'operatore è autoaggiunto allora lo spettro è puntuale ed è formato dagli autovalori (se sono in numero infinito tendono a 0, unico punto eventuale di accumulazione).

come trovo lo spettro di un operatore non autoaggiunto?

[gugo82]

Per mostrare che $B$ non ha autovalori diversi da $0$, basta cercare di risolvere esplicitamente l'equazione degli autovettori, i.e.:
\[
Bu = \lambda\ u\; ,
\]
e vedere che per nessun valore di $\lambda \ne 0$ esistono vettori $u\ne \mathbf{0}$ che la soddisfano.

L'equazione è equivalente alla ricorrenza:
\[
\begin{cases}
\lambda\ u_1 = 0\\
\lambda\ u_n = \frac{1}{n^2}\ u_{n-1}
\end{cases}
\]
e si vede facilmente che vale la proprietà detta sopra (ossia, per ogni $\lambda \ne 0$, l'unica soluzione possibile è quella nulla).
Per $\lambda =0$, invece, la situazione cambia e puoi determinare esplicitamente l'autospazio associato.