Operatori aggiunti negli spazi di Hilbert?
Salve a tutti..nonstante sia ancora al liceo ho bisogno di chiarimenti sul concetto di operatore aggiunto..sto lavorando su un approfondimento in relazione alla meccanica quantistica e non riesco a capire bene tale concetto..
in particolare con questa definizione di autostato trovato su wikipedia
"In meccanica quantistica, l'autostato di un'osservabile è un autovettore dell'operatore associato all'osservabile. Data un'osservabile di un sistema fisico, ad essa è associato un operatore autoaggiunto e lineare dello spazio di Hilbert: gli stati quantistici nei quali il sistema si può trovare sono una combinazione lineare degli autostati dell'operatore, che costituiscono una base dello spazio di Hilbert."
per decifrarla ho cercato di capire cosa significassero i singoli elementi e ho capito che
un autovettore = è l'immagine di un vettore moltiplicato per uno scalare
uno spazio di hilbert= è un particolare spazio lineare ( vettoriale) che anche se infinitesimale conserva delle caratteristiche degli spazi euclidei come l'ortogonalità.
so cos'è un operatore lineare ma proprio non riesco a capire che cos'è un operatore aggiunto e anche perchè un operatore hamiltoniano lo è..spero di essere stato il più chiaro possibile nei miei dubbi!
in particolare con questa definizione di autostato trovato su wikipedia
"In meccanica quantistica, l'autostato di un'osservabile è un autovettore dell'operatore associato all'osservabile. Data un'osservabile di un sistema fisico, ad essa è associato un operatore autoaggiunto e lineare dello spazio di Hilbert: gli stati quantistici nei quali il sistema si può trovare sono una combinazione lineare degli autostati dell'operatore, che costituiscono una base dello spazio di Hilbert."
per decifrarla ho cercato di capire cosa significassero i singoli elementi e ho capito che
un autovettore = è l'immagine di un vettore moltiplicato per uno scalare
uno spazio di hilbert= è un particolare spazio lineare ( vettoriale) che anche se infinitesimale conserva delle caratteristiche degli spazi euclidei come l'ortogonalità.
so cos'è un operatore lineare ma proprio non riesco a capire che cos'è un operatore aggiunto e anche perchè un operatore hamiltoniano lo è..spero di essere stato il più chiaro possibile nei miei dubbi!
Risposte
Bentornato sul forum login, tempo fa ti ho mandato un MP, forse 2, li hai ricevuti? Risulta che non sono stati ancora letti, puoi controllare per favore, magari ho sbagliato qualcosa io. Il contenuto dei messaggi prevede una risposta, quella mandamela come PM, ok?
Eh, non è un'impresa facile. Sono concetti complicati, da come li descrivi si vede che non li hai chiari (ed è giusto che sia così, sei uno studente di liceo). Prova a pensare in termini di matrici, come faceva Schrödinger cento anni fa. Uno spazio di Hilbert è una generalizzazione dello spazio \(\mathbb{C}^n\) dei vettori complessi \(n\)-dimensionali, dove si permette ad \(n\) di essere infinito. Un operatore lineare è una generalizzazione di una matrice, che agisce sui vettori per moltiplicazione:
\[y=Ax \quad \iff\quad \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a_{1 1} & a_{12} & \ldots &a_{1 n} \\
a_{2 1} & a_{22} & \ldots &a_{2 n}\\
\vdots &\vdots & \ddots&\vdots \\
a_{n 1} & a_{n2} & \ldots &a_{nn}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}.\]
La matrice aggiunta di \(A\) è la matrice in cui le righe sono scambiate con le colonne (trasposta) e ogni elemento è coniugato:
\[A^\dagger=\begin{bmatrix}
a_{1 1}^\star & a_{21}^\star & \ldots &a_{n 1}^\star \\
a_{1 2}^\star & a_{22}^\star & \ldots &a_{n 2}^\star\\
\vdots &\vdots & \ddots&\vdots \\
a_{1 2}^\star & a_{2 n}^\star & \ldots &a_{nn}^\star
\end{bmatrix},\]
e \(A\) si dice autoaggiunta se \(A=A^\dagger\). Un autovalore \(\lambda\) è un numero complesso con la proprietà che l'equazione
\[A\psi = \lambda \psi\]
ha delle soluzioni \(\psi\) non nulle, tali soluzioni si dicono autovettori. L'importanza degli operatori autoaggiunti sta nel fatto che tutti i loro autovalori sono reali, che gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali e che ogni altro vettore dello spazio di Hilbert si può esprimere come combinazione lineare di tali autovettori.
Questo è alla base del modello quantistico. Sistemi semplici possono essere realizzati con spazi finito dimensionali: ad esempio, un sistema costituito da un'unica particella di spin 1/2 si può modellizzare con lo spazio di Hilbert \(\mathbb{C}^2\), che ha dimensione 2. Infatti in questo caso tutti gli stati sono combinazione lineare di due stati fondamentali: \(|+\rangle\), spin up, e \(|-\rangle\), spin down. Purtroppo per sistemi con un numero infinito di gradi di libertà uno spazio di Hilbert di dimensione finita non basta più e allora tocca rivolgersi ai matematici chiedendo loro di costruire modelli di dimensione infinita. E purtroppo i matematici sono dei gran scassapalle (
) e cominceranno a puntualizzare su tutto costruendo una teoria assai complicata: ma essenzialmente l'idea è tutta in queste poche righe.
\[y=Ax \quad \iff\quad \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a_{1 1} & a_{12} & \ldots &a_{1 n} \\
a_{2 1} & a_{22} & \ldots &a_{2 n}\\
\vdots &\vdots & \ddots&\vdots \\
a_{n 1} & a_{n2} & \ldots &a_{nn}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}.\]
La matrice aggiunta di \(A\) è la matrice in cui le righe sono scambiate con le colonne (trasposta) e ogni elemento è coniugato:
\[A^\dagger=\begin{bmatrix}
a_{1 1}^\star & a_{21}^\star & \ldots &a_{n 1}^\star \\
a_{1 2}^\star & a_{22}^\star & \ldots &a_{n 2}^\star\\
\vdots &\vdots & \ddots&\vdots \\
a_{1 2}^\star & a_{2 n}^\star & \ldots &a_{nn}^\star
\end{bmatrix},\]
e \(A\) si dice autoaggiunta se \(A=A^\dagger\). Un autovalore \(\lambda\) è un numero complesso con la proprietà che l'equazione
\[A\psi = \lambda \psi\]
ha delle soluzioni \(\psi\) non nulle, tali soluzioni si dicono autovettori. L'importanza degli operatori autoaggiunti sta nel fatto che tutti i loro autovalori sono reali, che gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali e che ogni altro vettore dello spazio di Hilbert si può esprimere come combinazione lineare di tali autovettori.
Questo è alla base del modello quantistico. Sistemi semplici possono essere realizzati con spazi finito dimensionali: ad esempio, un sistema costituito da un'unica particella di spin 1/2 si può modellizzare con lo spazio di Hilbert \(\mathbb{C}^2\), che ha dimensione 2. Infatti in questo caso tutti gli stati sono combinazione lineare di due stati fondamentali: \(|+\rangle\), spin up, e \(|-\rangle\), spin down. Purtroppo per sistemi con un numero infinito di gradi di libertà uno spazio di Hilbert di dimensione finita non basta più e allora tocca rivolgersi ai matematici chiedendo loro di costruire modelli di dimensione infinita. E purtroppo i matematici sono dei gran scassapalle (
) e cominceranno a puntualizzare su tutto costruendo una teoria assai complicata: ma essenzialmente l'idea è tutta in queste poche righe.
Ci sono punti non chiari ma questo è quello che ho capito
Un operatore lineare è espresso come prodotto di una matrice per un vettore.
Per quanto riguarda quell'equazione ψ è come un incognita giusto? quindi hai uguagliato la matrice A(operatore lineare?) a un numero complesso chiamato autovalore in modo tale che le soluzioni di questa equazione siano diverse da 0. giustamente le soluzioni di una equazione che comprende matrici sono altre matrici ( vettori?) che si chiamano autovettori.
Adesso se al posto di un operatore lineare se ne prende uno autoaggiunto ( che corrisponde alla matrice autoaggiunta dell'operatore lineare) c'è il vantaggio che l'autovalore è reale al posto che complesso , e le soluzioni dell'equazione, gli autovettori sono perpendicolari ( rispetto a cosa?!)
Questo è quello che ho capito più o meno
continuano a persistere dubbi e domande :
Che significa che "ogni altro vettore dello spazio di Hilbert si può esprimere come combinazione lineare di tali autovettori"?
Ax è un operatore lineare? e perchè viene espresso con la moltiplicazione di una matrice per un vettore?
E alla fine tutta questa teoria sulle matrici a che serve? cioè qual'è lo scopo? forse quello di descrivere spazi? ma c'era bisogno di tutto questo per descrivere uno spazio o uno stato?
scusa dissonace se insisto ma ci tengo particolarmente a capire meglio questa teoria..ancora non capisco perchè a un certo punto esce fuori una matrice autoaggiunta e non riesco a immaginare il nesso con la quantistica...
Un operatore lineare è espresso come prodotto di una matrice per un vettore.
Per quanto riguarda quell'equazione ψ è come un incognita giusto? quindi hai uguagliato la matrice A(operatore lineare?) a un numero complesso chiamato autovalore in modo tale che le soluzioni di questa equazione siano diverse da 0. giustamente le soluzioni di una equazione che comprende matrici sono altre matrici ( vettori?) che si chiamano autovettori.
Adesso se al posto di un operatore lineare se ne prende uno autoaggiunto ( che corrisponde alla matrice autoaggiunta dell'operatore lineare) c'è il vantaggio che l'autovalore è reale al posto che complesso , e le soluzioni dell'equazione, gli autovettori sono perpendicolari ( rispetto a cosa?!)
Questo è quello che ho capito più o meno
continuano a persistere dubbi e domande :Che significa che "ogni altro vettore dello spazio di Hilbert si può esprimere come combinazione lineare di tali autovettori"?
Ax è un operatore lineare? e perchè viene espresso con la moltiplicazione di una matrice per un vettore?
E alla fine tutta questa teoria sulle matrici a che serve? cioè qual'è lo scopo? forse quello di descrivere spazi? ma c'era bisogno di tutto questo per descrivere uno spazio o uno stato?
scusa dissonace se insisto ma ci tengo particolarmente a capire meglio questa teoria..ancora non capisco perchè a un certo punto esce fuori una matrice autoaggiunta e non riesco a immaginare il nesso con la quantistica...
Mannaggia, purtroppo hai le idee un po' confuse. A scuola avete studiato le matrici? Spazi vettoriali, algebra lineare ... niente? Se ci dici cosa conosci vediamo un po' cosa si può fare. Intanto dai un'occhiata a questo bellissimo thread che può essere preso come punto di partenza per uno studio della meccanica quantistica (e il suo autore, Sergio, sarebbe contentissimo di saperlo):
algebra-lineare-for-dummies-t45434.html
algebra-lineare-for-dummies-t45434.html
a scuola purtroppo non abbiamo fatto matrici ma ho rimediato studiandole da solo...e un po' di algebra lineare l'abbiamo fatta ma non a livelli di operatori autoaggiunti...per quanto riguarda gli spazi vettoriali pure abbiamo fatto qualcosa! insomma nozioni di base le ho ma non mi dispiacerebbe impararne di nuove
vorrei capire dove sbaglio a capire o cosa devo rivedere
vorrei capire dove sbaglio a capire o cosa devo rivedere
Ma il concetto di "operatore lineare" lo hai capito? Hai capito "cos'è" una matrice, a che serve, cosa rappresenta? Io penso di no, meglio leggere un po' quanto dice Sergio riguardo le "applicazioni lineari" (applicazione e operatore sono sinonimi).
ok mi studio un po' questa algebra lineare per dummies e poi riposto la domanda.. 
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