Operatore PDE e Leibniz

[sméagol1]

L'operatore lineare delle PDE su \(fu\) è dato da
\begin{split}
P(D)(fu)
&=\sum_{|\alpha| &=\sum_{|\alpha| \end{split}

Devo esplicitare la differenza seguente per mostrare che si annulla. Essendo la funzione \(f\) costante, questo accade se essa non compare *non derivata* nell'espressione. La tilde indica che ogni derivata parziale è moltiplicata per \(-i\). E' parte di un criterio di Schwartz per individuare gli operatori ipoellittici. Vediamo:
\begin{split}
P(D)(fu)-fP(D)(u)
&=\sum_{|\alpha| &=\sum_{|\alpha| &-\sum_{|\alpha| &=\sum_{|\alpha| \end{split}
L'espressione per \(b_{(0,0,...,0)\alpha}\) è una produttoria con termini della forma \((0,...,0)_{i}!/[\alpha_{i}!((0,...,0)_{i}-\alpha_{i})!]\) e dipende quindi da \(\alpha\). Se fosse però \(b_{\alpha(0,0,...,0)}\) allora avremmo \(\alpha_{i}!/[(0,...,0)_{i}!(\alpha_{i}-(0,...,0)_{i})!]=1\) e potendo così eliminare le derivate di \(f\) di ordine \(0\). Cosa sbaglio? Edit: proverò a scambiare \(f\) e \(u\).

[dissonance]

Mi pare tu stia cercando di dimostrare una cosa falsa, e cioè che
\[\tag{1}
P(D)(fu)=fP(D)u.\]
Basta prendere $P(x)=x_1$ per mostrare che la cosa non funziona. A meno che $f$ non sia una costante, come dici da qualche parte: in questo caso, (1) è una ovvia conseguenza della linearità di $P(D)$.

Rivedi bene quello che stai facendo, c'è sicuramente qualche problema

[ciampax]

@dissonance: no, credo proprio che invece voglia esplicitare cosa sia il "bracket" $[P(D),f](u)=P(D)(fu)-f P(D)u$, cosa tipica con operatori pseudodifferenziali. Sono d'accordo che non sia zero, ma non riesco bene a capire come stia facendo i calcoli. Se ho tempo, vedo di scrivere per bene la cosa, perché obbiettivamente è un po' una rottura di scatole scrivere tutto esplicitamente (io preferisco ragionarci come "campi" vettoriali e le cose si semplificano).

[dissonance]

Questo dei campi vettoriali in dimensione infinita sarebbe un excursus interessante, mi interesserebbe sapere come fai a semplificare il conto. Non sarebbe la prima volta che mi aiuti con questo punto di vista della geometria differenziale.

Magari ne possiamo riparlare quando l'OP avrà le idee più chiare, per non creare confusione

[ciampax]

Guarda, ho un paio di settimane abbastanza incasinate. Appena sono un po' più tranquillo, magari ti scrivo in MP.

[sméagol1]

"dissonance":Mi pare tu stia cercando di dimostrare una cosa falsa, e cioè che
\[\tag{1}
P(D)(fu)=fP(D)u.\]
Basta prendere $P(x)=x_1$ per mostrare che la cosa non funziona. A meno che $f$ non sia una costante, come dici da qualche parte: in questo caso, (1) è una ovvia conseguenza della linearità di $P(D)$.

Rivedi bene quello che stai facendo, c'è sicuramente qualche problema

Hai ragione, qui è spiegato bene cosa voglio fare: y applying the standard Leibniz formula for differentiation of a product, we see that \(v\) is a linear combination of derivatives of \(f\) of order \(\neq 0\), [...] img. Lascia che ci pensi su ancora un po'.

[ciampax]

Comunque, io farei vedere 2 cose:
1) usare un operatore del tipo $P(D)=a D^\alpha$ e far vedere cosa viene fuori;
2) avendo in mente quello che si è ottenuto in 1), vedere cosa accade se $P(D)=a D^\alpha+b D^\beta$;
3) concludere per "linearità" su un operatore $P(D)$ generico.

P.S.: la cosa più complicata da fare è il calcolo in 1).

[sméagol1]

Per la linearità di \(P(D)\) come dice dissonance dovrebbe essere chiaro che quando \(g\) (nel libro, \(f\) nel thread) è costante, ovvero per ogni \(x \in U'\), allora l'uguaglianza è soddisfatta. Io ho cercato di mostrare quello che è scritto nelle righe che ho riportato, boh. Adesso ripasso il teorema per vedere se ho saltato qualcosa. Edit: forse vuole proprio mostrare l'omogeneità dell'operatore.

[dissonance]

"ciampax":[...]esplicitare cosa sia il "bracket" $[P(D),f](u)=P(D)(fu)-f P(D)u$[...] (io preferisco ragionarci come "campi" vettoriali e le cose si semplificano).

Richiamo questo topic spinto dalla curiosità di saperne di più su questa visione degli operatori (pseudo)differenziali. Ne ho sentito parlare abbastanza di recente. Ci potresti spiegare come fai per semplificare questo calcolo? Grazie!