Operatore Nabla in coordinate curvilinee
Salve ragazzi, mi serviva una mano per un problema. Nel corso di Microonde abbiamo sfruttato l'identità vettoriale: $ \nabla \times (\underlineA \times \underlineB)=\underlineA (\nabla \cdot \underlineB) -\underlineB (\nabla \cdot \underlineA) + (\underlineB \cdot \nabla)\underlineA - (\underlineA \cdot \nabla)\underlineB $.
Per i primi due addendi del membro di destra non ho problemi, mentre il problema sorge per i restanti perchè il professore ci ha detto che negli altri due addendi l'operatore Nabla agisce rispettivamente su A e su B e che l'espressione tra parentesi non è una divergenza.
La motivazione per cui l'espressione tra parentesi non è una divergenza penso di averla capita: oltre alla natura vettoriale, il Nabla è comunque un operatore che agisce sull'elemento posta alla sua destra.
Quello che non mi è chiaro è come calcolare l'espressione $(\underlineA \cdot \nabla)\underlineB$ ( o equivalentemente $(\underlineB \cdot \nabla)\underlineA$ ) in un generico sistema di coordinate curvilineo del tipo $q_1, q_2, z$ ottenuto associando ad un asse z un sistema di coordinate curvilinee $q_1, q_2$ sul piano trasversale all'asse z.
Ho provato ad arrivare ad una soluzione ma non sono sicuro che sia giusta....
In un sistema di coordinate di questo tipo si ha che:
$\nabla [\ \ ]= \frac[1][h_1 h_2] { \frac[\partial (\underline[q_1]h_2 [\ \ ] ) ][\partial q_1]+\frac[\partial (\underline[q_2]h_1 [\ \ ] ) ][\partial q_2]}+ \frac[\partial [\ \ ] ][\partial z] \underlinez= \nabla_t [\ \ ]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial z] \underlinez$
dove $\nabla_t [\ \ ]$ opera sul piano trasversale a z
Possiamo semplificare l'espressione di $\nabla_t [\ \ ]$ in questo modo:
$\nabla_t [\ \ ]=\frac[1][h_1] \frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1]\underline[q_1]+\frac[1][h_2]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2]\underline[q_2] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
quindi: $\underlineA \cdot \nabla =\frac[A_1][h_1] \frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1]+\frac[A_2][h_2]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2]+A_z \frac[\partial [\ \ ] ][\partial z] $
Di conseguenza:
$(\underlineA \cdot \nabla)\underlineB =\frac[A_1][h_1] \frac[\partial \underlineB ][\partial q_1]+\frac[A_2][h_2]\frac[\partial \underlineB ][\partial q_2]+A_z \frac[\partial \underlineB ][\partial z]$
Secondo voi è corretto? E' corretto sfruttare la semplificazione (1), perché da quanto ho appreso al corso questa semplificazione vale solo per il calcolo di gradienti di funzioni scalari?
Se ho ben capito tale semplificazione si ottiene nel seguente modo:
Per la proprietà della derivata del prodotto, si ha che:
$\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 [\ \ ] ) ][\partial q_1]=[\ \ ] \frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1] \underline[q_1]h_2$
$\frac[\partial (\underline[q_2]h_1 [\ \ ] ) ][\partial q_2]=[\ \ ] \frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2] \underline[q_2]h_1$
Dunque:
$\nabla_t[\ \ ]=\frac[1][h_1 h_2]{[\ \ ]\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1] \underline[q_1]h_2 +[\ \ ] \frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2] \underline[q_2]h_1 }$
Sviluppando il prodotto si ottiene:
$\nabla_t[\ \ ]=\frac[[\ \ ]][h_1 h_2]\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[1][h_1]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1] \underline[q_1] +\frac[[\ \ ]][h_1 h_2] \frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]+\frac[1][h_2]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2] \underline[q_2] $
Dove:
$\frac[[\ \ ]][h_1 h_2]\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[[\ \ ]][h_1 h_2] \frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]=[\ \ ] \frac[1][h_1h_2]{\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]}= [\ \ ] \nabla_t[1] \equiv 0$
Dunque:
$\nabla_t [\ \ ]=\frac[1][h_1] \frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1]\underline[q_1]+\frac[1][h_2]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2]\underline[q_2]$
Corretto?
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione e dell'aiuto
Per i primi due addendi del membro di destra non ho problemi, mentre il problema sorge per i restanti perchè il professore ci ha detto che negli altri due addendi l'operatore Nabla agisce rispettivamente su A e su B e che l'espressione tra parentesi non è una divergenza.
La motivazione per cui l'espressione tra parentesi non è una divergenza penso di averla capita: oltre alla natura vettoriale, il Nabla è comunque un operatore che agisce sull'elemento posta alla sua destra.
Quello che non mi è chiaro è come calcolare l'espressione $(\underlineA \cdot \nabla)\underlineB$ ( o equivalentemente $(\underlineB \cdot \nabla)\underlineA$ ) in un generico sistema di coordinate curvilineo del tipo $q_1, q_2, z$ ottenuto associando ad un asse z un sistema di coordinate curvilinee $q_1, q_2$ sul piano trasversale all'asse z.
Ho provato ad arrivare ad una soluzione ma non sono sicuro che sia giusta....
In un sistema di coordinate di questo tipo si ha che:
$\nabla [\ \ ]= \frac[1][h_1 h_2] { \frac[\partial (\underline[q_1]h_2 [\ \ ] ) ][\partial q_1]+\frac[\partial (\underline[q_2]h_1 [\ \ ] ) ][\partial q_2]}+ \frac[\partial [\ \ ] ][\partial z] \underlinez= \nabla_t [\ \ ]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial z] \underlinez$
dove $\nabla_t [\ \ ]$ opera sul piano trasversale a z
Possiamo semplificare l'espressione di $\nabla_t [\ \ ]$ in questo modo:
$\nabla_t [\ \ ]=\frac[1][h_1] \frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1]\underline[q_1]+\frac[1][h_2]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2]\underline[q_2] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
quindi: $\underlineA \cdot \nabla =\frac[A_1][h_1] \frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1]+\frac[A_2][h_2]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2]+A_z \frac[\partial [\ \ ] ][\partial z] $
Di conseguenza:
$(\underlineA \cdot \nabla)\underlineB =\frac[A_1][h_1] \frac[\partial \underlineB ][\partial q_1]+\frac[A_2][h_2]\frac[\partial \underlineB ][\partial q_2]+A_z \frac[\partial \underlineB ][\partial z]$
Secondo voi è corretto? E' corretto sfruttare la semplificazione (1), perché da quanto ho appreso al corso questa semplificazione vale solo per il calcolo di gradienti di funzioni scalari?
Se ho ben capito tale semplificazione si ottiene nel seguente modo:
Per la proprietà della derivata del prodotto, si ha che:
$\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 [\ \ ] ) ][\partial q_1]=[\ \ ] \frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1] \underline[q_1]h_2$
$\frac[\partial (\underline[q_2]h_1 [\ \ ] ) ][\partial q_2]=[\ \ ] \frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2] \underline[q_2]h_1$
Dunque:
$\nabla_t[\ \ ]=\frac[1][h_1 h_2]{[\ \ ]\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1] \underline[q_1]h_2 +[\ \ ] \frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]+\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2] \underline[q_2]h_1 }$
Sviluppando il prodotto si ottiene:
$\nabla_t[\ \ ]=\frac[[\ \ ]][h_1 h_2]\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[1][h_1]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1] \underline[q_1] +\frac[[\ \ ]][h_1 h_2] \frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]+\frac[1][h_2]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2] \underline[q_2] $
Dove:
$\frac[[\ \ ]][h_1 h_2]\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[[\ \ ]][h_1 h_2] \frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]=[\ \ ] \frac[1][h_1h_2]{\frac[\partial (\underline[q_1]h_2 ) ][\partial q_1]+\frac[\partial (\underline[q_2]h_1 ) ][\partial q_2]}= [\ \ ] \nabla_t[1] \equiv 0$
Dunque:
$\nabla_t [\ \ ]=\frac[1][h_1] \frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_1]\underline[q_1]+\frac[1][h_2]\frac[\partial [\ \ ] ][\partial q_2]\underline[q_2]$
Corretto?
Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione e dell'aiuto
Risposte
Non ho abbastanza energie per leggere i tuoi conti ora, perdonami. Vorrei solo sottolineare che, in questi casi, \(\nabla\) è da interpretarsi solo come un simbolo mnemonico, e che le tre scritture \(\nabla f, \nabla\cdot \vec{f}, \vec{b}\cdot \nabla f\) sono semplicemente dei simboli che significano
\[
\nabla f:=\sum_{j=1}^d \partial_{x_j} f\, e_j; \]
e
\[
\nabla \cdot \vec f:= \sum_{j=1}^d \partial_{x_j} f; \]
e infine
\[
\vec b\cdot \nabla f:= \sum_{j=1}^d b_j\partial_{x_j}f, \]
dove \(x_1, x_2, \ldots, x_d\) è un sistema di coordinate cartesiane ortonormali e \(e_1, e_2, \ldots, e_d\) sono i versori coordinati. Non c'è nient'altro da sapere. In particolare, per ricavare l'espressione di questi tre operatori in sistemi di coordinate curvilinee, bisogna applicare la regola della catena nelle formule scritte qui sopra.
(Per una trattazione più avanzata si può usare il linguaggio della geometria Riemanniana. Ma alla fin fine i conti da fare sempre gli stessi sono.)
\[
\nabla f:=\sum_{j=1}^d \partial_{x_j} f\, e_j; \]
e
\[
\nabla \cdot \vec f:= \sum_{j=1}^d \partial_{x_j} f; \]
e infine
\[
\vec b\cdot \nabla f:= \sum_{j=1}^d b_j\partial_{x_j}f, \]
dove \(x_1, x_2, \ldots, x_d\) è un sistema di coordinate cartesiane ortonormali e \(e_1, e_2, \ldots, e_d\) sono i versori coordinati. Non c'è nient'altro da sapere. In particolare, per ricavare l'espressione di questi tre operatori in sistemi di coordinate curvilinee, bisogna applicare la regola della catena nelle formule scritte qui sopra.
(Per una trattazione più avanzata si può usare il linguaggio della geometria Riemanniana. Ma alla fin fine i conti da fare sempre gli stessi sono.)
Ciao marco_1004,
Questa identità vettoriale l'ho vista in Campi Elettromagnetici e Circuiti I ed è corretta.
Beh, il tuo professore ha ragione: anche perché se lo fossero, gli ultimi due termini sarebbero uguali ai primi due e si potrebbero sommare. Invece vanno interpretati come un operatore che agisce sui vettori che compaiono sulla destra.
Direi di sì, anche se sono un po' perplesso in merito alle notazioni che usi. Diciamo che in generale in coordinate curvilinee ortogonali $q_1 $, $q_2 $, $q_3 $ si ha:
$\nabla = \frac{\hat e_1}{h_1}(del)/(delq_1) + \frac{\hat e_2}{h_2}(del)/(delq_2) + \frac{\hat e_3}{h_3}(del)/(delq_3) $
Nel tuo caso particolare $\hat e_3 = \hat k $, $h_3 = 1 $ e $q_3 = z $, per cui si ottiene l'espressione seguente:
$\nabla = \frac{\hat e_1}{h_1}(del)/(delq_1) + \frac{\hat e_2}{h_2}(del)/(delq_2) + \hat k(del)/(delz) = \nabla_t + \hat k(del)/(delz) $
Naturalmente se $\hat e_1 = \hat i $, $\hat e_2 = \hat j $, $h_1 = h_2 = 1 $ e $q_1 = x $, $q_2 = y $ ci si riconduce alla ben nota espressione in coordinate cartesiane:
$\nabla = \hat i(del)/(delx) + \hat j (del)/(dely) + \hat k(del)/(delz) = \nabla_t + \hat k(del)/(delz) $
"marco_1004":
Nel corso di Microonde abbiamo sfruttato l'identità vettoriale:
$ \nabla \times (\underlineA \times \underlineB)=\underlineA (\nabla \cdot \underlineB) -\underlineB (\nabla \cdot \underlineA) + (\underlineB \cdot \nabla)\underlineA - (\underlineA \cdot \nabla)\underlineB $
Questa identità vettoriale l'ho vista in Campi Elettromagnetici e Circuiti I ed è corretta.
"marco_1004":
il professore ci ha detto che negli altri due addendi l'operatore Nabla agisce rispettivamente su A e su B e che l'espressione tra parentesi non è una divergenza.
Beh, il tuo professore ha ragione: anche perché se lo fossero, gli ultimi due termini sarebbero uguali ai primi due e si potrebbero sommare. Invece vanno interpretati come un operatore che agisce sui vettori che compaiono sulla destra.
"marco_1004":
Corretto?
Direi di sì, anche se sono un po' perplesso in merito alle notazioni che usi. Diciamo che in generale in coordinate curvilinee ortogonali $q_1 $, $q_2 $, $q_3 $ si ha:
$\nabla = \frac{\hat e_1}{h_1}(del)/(delq_1) + \frac{\hat e_2}{h_2}(del)/(delq_2) + \frac{\hat e_3}{h_3}(del)/(delq_3) $
Nel tuo caso particolare $\hat e_3 = \hat k $, $h_3 = 1 $ e $q_3 = z $, per cui si ottiene l'espressione seguente:
$\nabla = \frac{\hat e_1}{h_1}(del)/(delq_1) + \frac{\hat e_2}{h_2}(del)/(delq_2) + \hat k(del)/(delz) = \nabla_t + \hat k(del)/(delz) $
Naturalmente se $\hat e_1 = \hat i $, $\hat e_2 = \hat j $, $h_1 = h_2 = 1 $ e $q_1 = x $, $q_2 = y $ ci si riconduce alla ben nota espressione in coordinate cartesiane:
$\nabla = \hat i(del)/(delx) + \hat j (del)/(dely) + \hat k(del)/(delz) = \nabla_t + \hat k(del)/(delz) $
Ti ringrazio per la risposta però ho ancora qualche dubbio in merito anche se comunque ragionandoci credo che il ragionamento fatto sia corretto.
Facendo ad esempio riferimento ad un sistema di coordinate cilindriche abbiamo che:
$\nabla [\ \ ]= \frac[\partial [\ \ ]][\partial \rho] \underlinerho + \frac[1][\rho] \frac[\partial [\ \ ]][\partial \phi] \underlinephi + \frac[\partial [\ \ ]][\partial z] \underlinez$
quindi:
$ \underlineA \cdot \nabla = A_[\rho]\frac[\partial [\ \ ]][\partial \rho] + \frac[A_[\phi]][\rho] \frac[\partial [\ \ ]][\partial \phi] + A_z\frac[\partial [\ \ ]][\partial z] $
e di conseguenza:
$ (\underlineA \cdot \nabla)\underlineB = A_[\rho]\frac[\partial \underlineB ][\partial \rho] + \frac[A_[\phi]][\rho] \frac[\partial \underlineB ][\partial \phi] + A_z\frac[\partial \underlineB][\partial z]$
dove $\underlineB= B_\rho \underlinerho + B_\phi \underlinephi + B_z \underlinez$
Quando andiamo ad eseguire le derivate parziali si deve tenere conto anche della variazione del versore. Svolgendo i conti e tenendo conto delle derivate dei versori di riferimento ottengo un espressione analoga a quella che ho trovato spulciando in rete, che riporto:
$(\underline{A} \cdot \nabla)\underline{B} = (A_{\rho} \frac{\partial B_\rho}{\partial \rho}+ \frac{A_\phi}{\rho}\frac{\partial B_\rho}{\partial \phi}+ A_z \frac{\partial B_\rho}{\partial z} -\frac{A_\phi B_\phi}{\rho})\underline\rho + (A_{\rho} \frac{\partial B_\phi}{\partial \rho}+ \frac{A_\phi}{\rho}\frac{\partial B_\phi}{\partial \phi}+ A_z \frac{\partial B_\phi}{\partial z} -\frac{A_\phi B_\rho}{\rho})\underline\phi+(A_{\rho} \frac{\partial B_z}{\partial \rho}+ \frac{A_\phi}{\rho}\frac{\partial B_z}{\partial \phi}+ A_z \frac{\partial B_z}{\partial z})\underline z$
Quindi credo che il ragionamento svolto nel messaggio precedente sia giusto però aspetto comunque che qualcuno lo confermi perchè non vorrei aver trascurato qualcosa visto che nell'ambito di tensori e derivate materiali non sono molto esperto.
Facendo ad esempio riferimento ad un sistema di coordinate cilindriche abbiamo che:
$\nabla [\ \ ]= \frac[\partial [\ \ ]][\partial \rho] \underlinerho + \frac[1][\rho] \frac[\partial [\ \ ]][\partial \phi] \underlinephi + \frac[\partial [\ \ ]][\partial z] \underlinez$
quindi:
$ \underlineA \cdot \nabla = A_[\rho]\frac[\partial [\ \ ]][\partial \rho] + \frac[A_[\phi]][\rho] \frac[\partial [\ \ ]][\partial \phi] + A_z\frac[\partial [\ \ ]][\partial z] $
e di conseguenza:
$ (\underlineA \cdot \nabla)\underlineB = A_[\rho]\frac[\partial \underlineB ][\partial \rho] + \frac[A_[\phi]][\rho] \frac[\partial \underlineB ][\partial \phi] + A_z\frac[\partial \underlineB][\partial z]$
dove $\underlineB= B_\rho \underlinerho + B_\phi \underlinephi + B_z \underlinez$
Quando andiamo ad eseguire le derivate parziali si deve tenere conto anche della variazione del versore. Svolgendo i conti e tenendo conto delle derivate dei versori di riferimento ottengo un espressione analoga a quella che ho trovato spulciando in rete, che riporto:
$(\underline{A} \cdot \nabla)\underline{B} = (A_{\rho} \frac{\partial B_\rho}{\partial \rho}+ \frac{A_\phi}{\rho}\frac{\partial B_\rho}{\partial \phi}+ A_z \frac{\partial B_\rho}{\partial z} -\frac{A_\phi B_\phi}{\rho})\underline\rho + (A_{\rho} \frac{\partial B_\phi}{\partial \rho}+ \frac{A_\phi}{\rho}\frac{\partial B_\phi}{\partial \phi}+ A_z \frac{\partial B_\phi}{\partial z} -\frac{A_\phi B_\rho}{\rho})\underline\phi+(A_{\rho} \frac{\partial B_z}{\partial \rho}+ \frac{A_\phi}{\rho}\frac{\partial B_z}{\partial \phi}+ A_z \frac{\partial B_z}{\partial z})\underline z$
Quindi credo che il ragionamento svolto nel messaggio precedente sia giusto però aspetto comunque che qualcuno lo confermi perchè non vorrei aver trascurato qualcosa visto che nell'ambito di tensori e derivate materiali non sono molto esperto.
"pilloeffe":
Ciao marco_1004,
[quote="marco_1004"]Nel corso di Microonde abbiamo sfruttato l'identità vettoriale:
$ \nabla \times (\underlineA \times \underlineB)=\underlineA (\nabla \cdot \underlineB) -\underlineB (\nabla \cdot \underlineA) + (\underlineB \cdot \nabla)\underlineA - (\underlineA \cdot \nabla)\underlineB $
Questa identità vettoriale l'ho vista in Campi Elettromagnetici e Circuiti I ed è corretta.
"marco_1004":
il professore ci ha detto che negli altri due addendi l'operatore Nabla agisce rispettivamente su A e su B e che l'espressione tra parentesi non è una divergenza.
Beh, il tuo professore ha ragione: anche perché se lo fossero, gli ultimi due termini sarebbero uguali ai primi due e si potrebbero sommare. Invece vanno interpretati come un operatore che agisce sui vettori che compaiono sulla destra.
"marco_1004":
Corretto?
Direi di sì, anche se sono un po' perplesso in merito alle notazioni che usi. Diciamo che in generale in coordinate curvilinee ortogonali $q_1 $, $q_2 $, $q_3 $ si ha:
$\nabla = \frac{\hat e_1}{h_1}(del)/(delq_1) + \frac{\hat e_2}{h_2}(del)/(delq_2) + \frac{\hat e_3}{h_3}(del)/(delq_3) $
Nel tuo caso particolare $\hat e_3 = \hat k $, $h_3 = 1 $ e $q_3 = z $, per cui si ottiene l'espressione seguente:
$\nabla = \frac{\hat e_1}{h_1}(del)/(delq_1) + \frac{\hat e_2}{h_2}(del)/(delq_2) + \hat k(del)/(delz) = \nabla_t + \hat k(del)/(delz) $
Naturalmente se $\hat e_1 = \hat i $, $\hat e_2 = \hat j $, $h_1 = h_2 = 1 $ e $q_1 = x $, $q_2 = y $ ci si riconduce alla ben nota espressione in coordinate cartesiane:
$\nabla = \hat i(del)/(delx) + \hat j (del)/(dely) + \hat k(del)/(delz) = \nabla_t + \hat k(del)/(delz) $[/quote]
Grazie mille della risposta, sono felice che il ragionamento fili
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