Operatore lineare-norma di una costante
Buonasera a tutti 
. Chiedo scusa, supponiamo che abbiamo X, Y spazi normati e consideriamo un operatore lineare L: X -> Y e dobbiamo considerare la norma di una costante reale c : tale norma è uguale a c in quanto sfruttiamo una delle proprietà che definiscono una norma? Precisamente sfruttiamo la proprietà che ||cS(x)|| = |c|||S(x)|| (ossia che la norma di c per S(x) è uguale al modulo di c per la norma di S(x)), considerando nel nostro caso S(x) = 1 ? Grazie mille, grazie per la gentilissima attenzione.
. Chiedo scusa, supponiamo che abbiamo X, Y spazi normati e consideriamo un operatore lineare L: X -> Y e dobbiamo considerare la norma di una costante reale c : tale norma è uguale a c in quanto sfruttiamo una delle proprietà che definiscono una norma? Precisamente sfruttiamo la proprietà che ||cS(x)|| = |c|||S(x)|| (ossia che la norma di c per S(x) è uguale al modulo di c per la norma di S(x)), considerando nel nostro caso S(x) = 1 ? Grazie mille, grazie per la gentilissima attenzione.
Risposte
"gi88":
[...]
tale norma è uguale a c [...]
al massimo sarebbe uguale a $|c|$ ...
Penso in ogni caso che il problema sia mal posto...
Allora se $X$ e $Y$ sono spazi normati, allora le norme che possiamo definire su tali spazi saranno per definizione applicazioni che mandano elementi dello spazio ($X$ o $Y$) in $R$ , ovvero se chiamiamo ad esempio $||\cdot||_X$ la generica norma definita(o definibile) su $X$ e $||\cdot||_Y$ la generica norma definita(o definibile) su $Y$ allora tali norme sono applicazioni di questo genere:
$$
||\cdot||_X \,:\, X\to R
\\
||\cdot||_Y \, :\, Y\to R
$$
Con le solite proprietà delle norme che non sto a scrivere...
Ora se $c$ non è un elemento ne di $X$ ne di $Y$ allora non ha senso chiedersi qual'è la norma di $c$ , puoi però prendere ad esempio $X=\R$ che è uno spazio normato, e allora li si che la norma sul generico elemento $c\in X=\R$ sarà $|c|$ , e penso anche che questa sia l'unica norma definibile su $\R$ ...
Sicuramente si intende che $Y=X$ e per "norma di $c$" si intende "norma dell'operatore lineare $x\mapsto cx$". Il risultato è corretto.
Beh, anche perché un'applicazione costante di uno spazio $X$ in un'altro spazio $Y$ (i.e., un operatore del tipo $x\mapsto c$, con $c\in Y$ fissato) è tutto meno che lineare... Quindi non ha senso calcolarne la norma come si fa con gli operatori lineari. 
Buonasera a tutti . Grazie mille per le gentilissime risposte .
Chieso scusa però se dovessimo considerare un'uguaglianza tra due membri di cui un membro uguale ad una costante reale c, e a dover applicare (per un preciso motivo, scopo) la norma ad entrambi i membri, allora trovandomi a dover scrivere ||c|| devo pensare alla norma con dominio e codominio uguali a R e dunque concludere che ||c|| è uguale a |c| (norma in R)?
Ancora grazie mille per la gentilissima disponibilità
. Grazie mille per le gentilissime risposte .Chieso scusa però se dovessimo considerare un'uguaglianza tra due membri di cui un membro uguale ad una costante reale c, e a dover applicare (per un preciso motivo, scopo) la norma ad entrambi i membri, allora trovandomi a dover scrivere ||c|| devo pensare alla norma con dominio e codominio uguali a R e dunque concludere che ||c|| è uguale a |c| (norma in R)?
Ancora grazie mille per la gentilissima disponibilità
Non sei chiaro, così fuori contesto è impossibile risponderti, prova a scrivere espressamente il caso che hai in mente, così da capire cosa vuoi intendere.
Sì, mi scusi. Ad esempio nel corso di una dimostrazione di un teorema abbiamo un funzionale lineare L e L(xn)/||xn|| = n e per dimostrare la tesi del teorema dobbiamo considerare la norma operatoriale. Allora per definizione di norma operatoriale dobbiamo considerare il sup delle ||L(xn)||/||xn||. Allora (dato che siamo nel caso di L(xn)/||xn|| = n)non dobbiamo considerare anche ||n||? Se così non è, come dobbiamo "procedere" per n? Grazie, grazie, grazie, grazie mille
Non c'è bisogno di usare il "lei" ... in ogni caso ti devo chiedere di essere più preciso con le definizioni...
In che spazio è definito $L$ ? $x$ è un elemento di tale spazio? $n$ è un numero reale?
In che spazio è definito $L$ ? $x$ è un elemento di tale spazio? $n$ è un numero reale?
Mi sembra di intuire quale sia la domanda. Se $L$ è un "funzionale lineare", si intende che è un operatore definito in uno spazio di Banach $X$ e a valori in $RR$, e su $RR$ si intende che la norma è il valore assoluto.
. Dovrebbe essere L(X,Y) insieme degli operatori J: X -> Y lineari e continui in X (X e Y spazi normati). Mi scuso, nel messaggio precedente ho utilizzato la lettera L per l'operatore lineare ma per non confonderlo con la L utilizzata ora, preciso che la L relativa all'operatore lineare sopra scritto è da intendersi come J..Precisamente si inizia la dimostrazione considerando una base B infinita di X e poi c'è scritto che l'insieme costituito dalle xn, con n naturale, è contenuto in B... Grazie, grazie, grazie mille
Solo ora ho ho visualizzato la gentile risposta di Dissonance .. Sul materiale da cui sto studiando il funzionale lineare è definito su uno spazio X normato con codominio il campo dei numeri complessi. Non va bene? :/
.. Sul materiale da cui sto studiando il funzionale lineare è definito su uno spazio X normato con codominio il campo dei numeri complessi. Non va bene? :/
Ma si va bene lo stesso 
In questo caso invece del valore assoluto devi prendere il modulo. Non ti impaperare su questi dettagliucci
In questo caso invece del valore assoluto devi prendere il modulo. Non ti impaperare su questi dettagliucci
"dissonance":
Mi sembra di intuire quale sia la domanda. Se $L$ è un "funzionale lineare", si intende che è un operatore definito in uno spazio di Banach $X$ e a valori in $RR$, e su $RR$ si intende che la norma è il valore assoluto.
Buonasera
. Chiedo scusa, in base alla definizione del funzionale lineare allora nel nostro caso "pensare" alla norma del valore n (naturale) o meglio, il suo valore assoluto viene dal fatto che dobbiamo pensare comunque ad un elemento x dello spazio normato e precisamente x = 1, in modo che abbiamo ||n|| = ||n 1|| = |n||1| ? Cioè, il mio dubbio è, possiamo usare la norma su n che è un numero naturale e non un vettore di uno spazio normato :/ ? O forse mi sfugge qualcosa :/ 
. Grazie tantissssime
Bisogna che poni meglio la domanda... Così non si capisce nulla.
P.S.: In un generico spazio normato non c'è nessun vettore $x=1$ di solito.
P.S.: In un generico spazio normato non c'è nessun vettore $x=1$ di solito.
Buongiorno. Mi scusi. Il mio dubbio è possiamo usare la norma "su" un numero naturale n dato che la norma è definita con codominio corrispondente ad uno spazio normato? In caso negativo, in base a quale "concetto" possiamo dire che se ci troviamo davanti alla norma di un numero naturale (come nel caso di una dimostrazione che ho scritto "sopra" in uno dei miei ultimi messaggi) allora essa è uguale al modulo ( se lavoriamo con il campo dei numeri complessi) di n?
Grazie, grazie tantisssime
Grazie, grazie tantisssime
Ho letto il post a cui ti riferisci, ma continuo a non capire la questione.
Che teorema stavate provando?
Puoi riportare il passaggio?
Tieni presente che puoi inserire formule in maniera abbastanza semplice.
Che teorema stavate provando?
Puoi riportare il passaggio?
Tieni presente che puoi inserire formule in maniera abbastanza semplice.
Buonasera . Mi scusi il ritardo. Si provava che se uno spazio normato X ha dimensione infinita allora esistono funzionali lineari non continui (ovvero non limitati).
Grazie grazie mille
. Mi scusi il ritardo. Si provava che se uno spazio normato X ha dimensione infinita allora esistono funzionali lineari non continui (ovvero non limitati).Grazie grazie mille
Ah, ok.
Allora la questione è molto semplice, perché la costruzione di un funzionale lineare non limitato (che è lo stesso che dire non continuo) si fa in maniera immediata su uno spazio noto, i.e. $c_{00}$.
Ti ricordo che:
\[
c_{00} := \left\{ \mathbf{x}:=(x_n):\ \exists \nu \in \mathbb{N} \text{ tale che } x_n=0 \text{ per ogni } n\geq \nu \right\}
\]
è lo spazio delle successioni (a valori reali o complessi) definitivamente nulle; tale spazio è vettoriale normato con norma del massimo, i.e. con:
\[
\| \mathbf{x}\|_\infty := \max \{|x_n|\}\: .
\]
Si prova facilmente, inoltre, che ogni $\mathbf{x}\in c_{00}$ è combinazione lineare degli elementi:
\[
\mathbf{e}^k := (\delta_n^k)=(0,\ldots, 0,\underbrace{1}_{k\text{-esimo posto}},0,\ldots,0,\ldots )
\]
(in cui $\delta_n^k$ è di Kronecker e l'indice $k$ è in alto per non confondersi con l'indice $n$ della successione dei termini di ogni vettore), poiché infatti per ogni $\mathbf{x}\in c_{00}$ risulta:
\[
\mathbf{x} = \sum_{k=1}^\infty x_k \mathbf{e}^k
\]
in cui la somma è in realtà estesa solo ad un numero finito di indici (quelli $<\nu$ se $\mathbf{x} \ne\mathbf{0}$); pertanto l'insieme \(B:=\{\mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^k,\ldots \}\) è una base (nel senso dell'Algebra Lineare) di $c_{00}$.
Considera il funzionale $f:c_{00}\to \RR$ (o $\to \CC$, se sei nel caso complesso) definito sui vettori di $B$ ponendo:
\[
f(\mathbf{e}^k):=k
\]
per ogni $k\in \NN$; evidentemente, sul generico vettore $\mathbf{x}\in c_{00}$ il funzionale $f$ rimane univocamente definito da:
\[
f(\mathbf{x}) = \sum_{k=1}^\infty x_k\ f(\mathbf{e}^k) = \sum_{k=1}^\infty k\ x_k
\]
per noti fatti di Algebra Lineare[nota]Un'applicazione lineare è univocamente definita una volta assegnati i suoi valori sui vettori di una base.[/nota], in cui la somma è in realtà estesa ad un numero finito di indici.
L'applicazione così definita è certamente lineare, e però è illimitata: infatti, mentre si ha:
\[
\| \mathbf{e}^k\|_\infty =1
\]
per ogni $k\in \NN$, risulta:
\[
\sup_{k\in \mathbb{N}} f(\mathbf{e}^k) = \sup_{k\in \mathbb{N}} k = +\infty\; .
\]
Questo ragionamento è più generale di quanto si pensi.
Infatti ogni spazio vettoriale $X$ ha una base $B$ nel senso dell'Algebra Lineare (cose che si dimostra usando l'Assioma della Scelta), la quale contiene infiniti elementi se $X$ non ha dimensione finita[nota]Nota Bene: negli spazi vettoriali a dimensione finita, tutti i funzionali lineari sono continui, perché sono rappresentabili mediante un prodotto scalare. Quindi è assolutamente necessario, per costruire il nostro esempio, che $\dim X =\infty$.[/nota]; dunque, dopo aver normalizzato i vettori di $B$ (cosa che si può fare, in quanto $X$ è normato), è possibile ripetere in $X$ la costruzione di $f$ parola per parola ed ottenere uno sfolgorante esempio di funzionale lineare non limitato.
Allora la questione è molto semplice, perché la costruzione di un funzionale lineare non limitato (che è lo stesso che dire non continuo) si fa in maniera immediata su uno spazio noto, i.e. $c_{00}$.
Ti ricordo che:
\[
c_{00} := \left\{ \mathbf{x}:=(x_n):\ \exists \nu \in \mathbb{N} \text{ tale che } x_n=0 \text{ per ogni } n\geq \nu \right\}
\]
è lo spazio delle successioni (a valori reali o complessi) definitivamente nulle; tale spazio è vettoriale normato con norma del massimo, i.e. con:
\[
\| \mathbf{x}\|_\infty := \max \{|x_n|\}\: .
\]
Si prova facilmente, inoltre, che ogni $\mathbf{x}\in c_{00}$ è combinazione lineare degli elementi:
\[
\mathbf{e}^k := (\delta_n^k)=(0,\ldots, 0,\underbrace{1}_{k\text{-esimo posto}},0,\ldots,0,\ldots )
\]
(in cui $\delta_n^k$ è di Kronecker e l'indice $k$ è in alto per non confondersi con l'indice $n$ della successione dei termini di ogni vettore), poiché infatti per ogni $\mathbf{x}\in c_{00}$ risulta:
\[
\mathbf{x} = \sum_{k=1}^\infty x_k \mathbf{e}^k
\]
in cui la somma è in realtà estesa solo ad un numero finito di indici (quelli $<\nu$ se $\mathbf{x} \ne\mathbf{0}$); pertanto l'insieme \(B:=\{\mathbf{e}^1,\ldots ,\mathbf{e}^k,\ldots \}\) è una base (nel senso dell'Algebra Lineare) di $c_{00}$.
Considera il funzionale $f:c_{00}\to \RR$ (o $\to \CC$, se sei nel caso complesso) definito sui vettori di $B$ ponendo:
\[
f(\mathbf{e}^k):=k
\]
per ogni $k\in \NN$; evidentemente, sul generico vettore $\mathbf{x}\in c_{00}$ il funzionale $f$ rimane univocamente definito da:
\[
f(\mathbf{x}) = \sum_{k=1}^\infty x_k\ f(\mathbf{e}^k) = \sum_{k=1}^\infty k\ x_k
\]
per noti fatti di Algebra Lineare[nota]Un'applicazione lineare è univocamente definita una volta assegnati i suoi valori sui vettori di una base.[/nota], in cui la somma è in realtà estesa ad un numero finito di indici.
L'applicazione così definita è certamente lineare, e però è illimitata: infatti, mentre si ha:
\[
\| \mathbf{e}^k\|_\infty =1
\]
per ogni $k\in \NN$, risulta:
\[
\sup_{k\in \mathbb{N}} f(\mathbf{e}^k) = \sup_{k\in \mathbb{N}} k = +\infty\; .
\]
Questo ragionamento è più generale di quanto si pensi.
Infatti ogni spazio vettoriale $X$ ha una base $B$ nel senso dell'Algebra Lineare (cose che si dimostra usando l'Assioma della Scelta), la quale contiene infiniti elementi se $X$ non ha dimensione finita[nota]Nota Bene: negli spazi vettoriali a dimensione finita, tutti i funzionali lineari sono continui, perché sono rappresentabili mediante un prodotto scalare. Quindi è assolutamente necessario, per costruire il nostro esempio, che $\dim X =\infty$.[/nota]; dunque, dopo aver normalizzato i vettori di $B$ (cosa che si può fare, in quanto $X$ è normato), è possibile ripetere in $X$ la costruzione di $f$ parola per parola ed ottenere uno sfolgorante esempio di funzionale lineare non limitato.
Grazie, grazie mille
P.s. Mi scusi, precisamente cosa significa quando una "proprietà è verificata" "definitivamente"? Grazie
"gi88":
P.s. Mi scusi, precisamente cosa significa quando una "proprietà è verificata" "definitivamente"? Grazie
Nel caso delle successioni, "definitivamente" significa che la tale proprietà è soddisfatta da un certo indice $\nu$ in poi, i.e. per $n\geq \nu$.
Nel caso delle funzioni, "definitivamente" significa che la tale proprietà è soddisfatta in un intorno $I$ (e quindi in tutti gli intorni $J$ "più piccoli" di $I$) di un punto di accumulazione $x_0$ per il dominio (eccezion fatta, al più, per il punto $x_0$).
Queste due definizioni si tengono bene insieme: infatti, $\infty$ è di accumulazione per il dominio di qualsiasi successione che si rispetti e gli insiemi $I:={n\in \NN:\ n\geq \nu}$ sono intorni di $\infty$ nella topologia di $\NN$.
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