Operatore lineare
Il differenziale di una funzione è talvolta definito come "operatore lineare".
Se l'operatore lineare è un'applicazione da uno spazione vettoriale V definito su un campo K in se stesso ciè lo spazio di arrivo coincide con quello di partenza, mi viene questo dubbio.
Per funzioni $f:R$ $rarr$ $R$ il differenziale è una applicazione del tipo $df(x): R$ $rarr$ $R$, ma per funzioni $f: R^2$ $rarr$ $R$ è corretto definire il differenziale ancora come "operatore lineare" considerato che in questo caso si tratta di un'applicazione del tipo $df(x):R^2$ $rarr$ $R$ e quindi lo spazio di partenza e quello di arrivo non coincidono?
Mi scuso per il linguaggio non tecnico ma spero comunque di essere stato abbastanza chiaro
grazie a tutti
Se l'operatore lineare è un'applicazione da uno spazione vettoriale V definito su un campo K in se stesso ciè lo spazio di arrivo coincide con quello di partenza, mi viene questo dubbio.
Per funzioni $f:R$ $rarr$ $R$ il differenziale è una applicazione del tipo $df(x): R$ $rarr$ $R$, ma per funzioni $f: R^2$ $rarr$ $R$ è corretto definire il differenziale ancora come "operatore lineare" considerato che in questo caso si tratta di un'applicazione del tipo $df(x):R^2$ $rarr$ $R$ e quindi lo spazio di partenza e quello di arrivo non coincidono?
Mi scuso per il linguaggio non tecnico ma spero comunque di essere stato abbastanza chiaro
grazie a tutti
Risposte
Si, si, è solo questione di linguaggio. Secondo qualcuno un "operatore lineare" deve necessariamente essere di uno spazio in sé ma non secondo tutti. Io per esempio non mi scandalizzo nel chiamare "operatore lineare" anche una applicazione definita in uno spazio e a valori in un altro spazio.
Un operatore lineare, in generale, è un operatore [tex]$L:V\rightarrow W$[/tex] che sia lineare. Per cui, non vedo problemi a definirlo tra due spazi differenti.
ok, grazie
Scusate se torno ancora su questo argomento è che ho trovato in un forum questa definizione di differenziale come operatore lineare:
"Volendo vedere il differenziale come un'operatore lineare, questo non è una funzione di variabile reale, ma agisce su uno spazio vettoriale i cui elementi sono funzioni. In altre parole manda funzioni in funzioni. Te ne accorgi dal fatto che data una funzione f derivabile
$df(x1+x2)$ non è in generale uguale a $df(x1)+df(x2)$.
La linearità sussiste nel caso consideri il differenziale come mappa tra funzioni infatti date $f$ e $g$ derivabili:
$d(f+g) = df + dg$."
Il concetto di differenziale come operatore del tipo $df(x): R^n→R$ l'ho trovato scritto qui:
http://uploading.com/files/51f428ed/Differenziale.pdf/
Rileggendo questi appunti mi sembra di capire (in parole molto povere) che si potrebbe parlare anche del differenziale come applicazione lineare da $R^n→R$ se considero in $R^n$ il sottospazio delle n-uple formate dalle derivate parziali della funzione calcolate nel punto $x0$ e moltiplico il vettore riga costituito dalle derivate parziali $[f'(x1), f'(x2)...f'(xn)]$ per il vettore colonna formato dagli incrementi nelle n direzioni $[h1,h2.....hn]^T$ in questo modo ottengo un valore $f''(x1)*h1+f'(x2)h2.....f'(xn)hn$ che appartine ad $R$.
Forse il senso è questo ?.... booo !!
grazie x la pazienza
"Volendo vedere il differenziale come un'operatore lineare, questo non è una funzione di variabile reale, ma agisce su uno spazio vettoriale i cui elementi sono funzioni. In altre parole manda funzioni in funzioni. Te ne accorgi dal fatto che data una funzione f derivabile
$df(x1+x2)$ non è in generale uguale a $df(x1)+df(x2)$.
La linearità sussiste nel caso consideri il differenziale come mappa tra funzioni infatti date $f$ e $g$ derivabili:
$d(f+g) = df + dg$."
Il concetto di differenziale come operatore del tipo $df(x): R^n→R$ l'ho trovato scritto qui:
http://uploading.com/files/51f428ed/Differenziale.pdf/
Rileggendo questi appunti mi sembra di capire (in parole molto povere) che si potrebbe parlare anche del differenziale come applicazione lineare da $R^n→R$ se considero in $R^n$ il sottospazio delle n-uple formate dalle derivate parziali della funzione calcolate nel punto $x0$ e moltiplico il vettore riga costituito dalle derivate parziali $[f'(x1), f'(x2)...f'(xn)]$ per il vettore colonna formato dagli incrementi nelle n direzioni $[h1,h2.....hn]^T$ in questo modo ottengo un valore $f''(x1)*h1+f'(x2)h2.....f'(xn)hn$ che appartine ad $R$.
Forse il senso è questo ?.... booo !!
grazie x la pazienza
Ma non leggere queste fonti amatoriali, ti confondono solo le idee. L'autore comunque vuole dire che l'applicazione \(d\) che ad una funzione \(f\) associa il suo differenziale \(df\) è lineare. Questo è tutto, non c'è da fare molta prosopopea.
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