Operatore Laplace sferico

[nirvana2]

Ciao, dovrei mostrare che l'operatore di laplace sferico è autoaggiunto.

$Delta = 1/sin(theta)*d/(d(theta))*(sin(theta)*(d/(d(theta))))+1/(sin(theta)^2)*(d^2/(d(phi)^2))$

Cioè: $ = $

Bisognerebbe farlo integrando per parti, però forse ci sono problemi in zero per il $sin(theta)$ a denominatore...

mi date una mano per favore? anche dei link utili...

grazie...

[ayeyye]

penso di si, bisogna integrare per parti e fare tutti i passaggi. sul mio libro c'è scritto si può dimostrare che l'operatore di laplace è autoaggiunto senza darne dimostrazione. la cosa mi interessa visto che da poco ho studiato queste cose, vediamo se qualcuno vuol cimentarsi nei calcoli.

[gugo82]

Secondo me non bisogna fare tanti calcoli, perchè basta andare ad applicare opportunamente alcune proprietà.

In altre parole, se ho una funzione $u$ di classe $C^2(\partial B^3)$ ($B^3$ è palla unitaria di $RR^3$ e $\partial B^3$ ne è la frontiera) la posso estendere ad una corona del tipo $A_(r,R):=R*B^3\setminus r*\bar(B)^3$, con $0*, mantenendola costante sui raggi: in tal modo il prolungamento $U$ mi rimane di classe $C^2(A_(r,R))$ e conservo il valore del laplaciano (infatti non c'è variazione radiale nel prolungamento).

Diciamo $F,G$ le estensioni di $f,g$ ad $A_(r,R)$ ottenute nel modo che dicevo sopra: visto che il laplaciano è autoaggiunto in $A$, si ha $\langle Delta F,G\rangle =\langle F,Delta G\rangle$; da ciò segue la tesi, visto che in $A_(r,R)$ si trova $Delta F=Deltaf, DeltaG=Deltag$ e su $\partial B^3$ è $F=f,G=g$.

Ovviamente non ho fatto tutto per bene, bisogna andare a provare un po' di cose: ad esempio bisognerebbe mostrare che $F,G$ sono di classe $C^2(A_(r,R))$, che $DeltaF=Deltaf$ (questo è facile, si vede dalla formula di $Delta$ in coordinate sferiche) e che sono giuste le ultime uguaglianze.

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* Qui $A_(r,R):=\{x\in RR^3: r<|x|

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