Operatore inverso e teorema di Mazur
Durante la dimostrazione del teorema di Mazour, viene definito un operatore:
$\phi: L_p(\mu)\to L_1(\mu)$ $(p>1)$
che associa ad ogni funzione $f\in L_p(\mu)$ associa $\phi(f):= f|f|^(p-1)$. Ad un certo punto nel teorema bisogna dimostrare che $\phi^(-1)(h)$ è Holderiana di esponente $1/p$ (h è ovviamente una funzione di $L_1(\mu)$).
Il docente ha detto che $\phi^(-1)(h)=h|h|^(-1/q)$ con p e q esponenti coniugati. Il mio dubbio sta proprio nel trovare il modo di scrivere l'operatore inverso partendo da $\phi$. Ecco il mio tentativo:
$\phi(f)= f|f|^(p-1)= h=> |f|^p = |h|=> |f|= |h|^(1/p)$ ritrovando il segno ottengo:
$f = h|h|^(1/p-1)= h|h|^(-1/q)$
Ho commesso qualche passaggio illecito?
(Ho modificato il titolo. Cercando su Google ho scoperto che si scrive Mazur e non Mazour
)
$\phi: L_p(\mu)\to L_1(\mu)$ $(p>1)$
che associa ad ogni funzione $f\in L_p(\mu)$ associa $\phi(f):= f|f|^(p-1)$. Ad un certo punto nel teorema bisogna dimostrare che $\phi^(-1)(h)$ è Holderiana di esponente $1/p$ (h è ovviamente una funzione di $L_1(\mu)$).
Il docente ha detto che $\phi^(-1)(h)=h|h|^(-1/q)$ con p e q esponenti coniugati. Il mio dubbio sta proprio nel trovare il modo di scrivere l'operatore inverso partendo da $\phi$. Ecco il mio tentativo:
$\phi(f)= f|f|^(p-1)= h=> |f|^p = |h|=> |f|= |h|^(1/p)$ ritrovando il segno ottengo:
$f = h|h|^(1/p-1)= h|h|^(-1/q)$
Ho commesso qualche passaggio illecito?
(Ho modificato il titolo. Cercando su Google ho scoperto che si scrive Mazur e non Mazour
)
Risposte
A occhio direi di no...
Ok, mille grazie 
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