Operatore inverso del limite
Non potrebbe essere concepito un operatore inverso al limite? Probabilmente per la nostra mente risulterebbe difficile ma nell'analisi matematica, dove molti oggetti sfuggono alla nostra mente, non potrebbe esistere?
Si tratterebbe di trovare un operatore che da un limite mi restituisce la funzione di cui e` stata fatta l'operazione di limite al tendere di un valore...
Ma non è detto che la funzione "originaria" sia unica, potrebbe essere un insieme di funzioni! Così come le primitive di un integrale indefinito.
È possibile?
Si tratterebbe di trovare un operatore che da un limite mi restituisce la funzione di cui e` stata fatta l'operazione di limite al tendere di un valore...
Ma non è detto che la funzione "originaria" sia unica, potrebbe essere un insieme di funzioni! Così come le primitive di un integrale indefinito.
È possibile?
Risposte
Fammi capire l'utilità di una tale "cosa" ... per esempio tutti gli infiniti polinomi $a_nx^n+...a_2x^2+a_1x+1$ per $x$ che tende a zero avrebbero come limite $1$ (e ho considerato solo i polinomi ...): che senso ha?
In matematica non si dice mai "che senso ha?". Un professore una volta mi fece notare come chiedere questa domanda sia la stessa del chiedere ad un poeta " che senso ha questa poesia?".
Potrebbe avere una serie di implicazioni e di scoperte che potrebbe sviluppare un nuovo pensiero, o nuove scoperte in ambito matematica ma anche applicazioni nella scienza in generale
Potrebbe avere una serie di implicazioni e di scoperte che potrebbe sviluppare un nuovo pensiero, o nuove scoperte in ambito matematica ma anche applicazioni nella scienza in generale
Ah, ho capito, tu fai cose senza che necessitino di un senso ... tipo il crossposting ...
"axpgn":
Ah, ho capito, tu fai cose senza che necessitino di un senso ... tipo il crossposting ...
"alexdr":vorrei capire che intendi qui per operatore?
Non potrebbe essere concepito un operatore inverso al limite? Probabilmente per la nostra mente risulterebbe difficile ma nell'analisi matematica, dove molti oggetti sfuggono alla nostra mente, non potrebbe esistere?
Si tratterebbe di trovare un operatore che da un limite mi restituisce la funzione di cui e` stata fatta l'operazione di limite al tendere di un valore...
Ma non è detto che la funzione "originaria" sia unica, potrebbe essere un insieme di funzioni! Così come le primitive di un integrale indefinito.
È possibile?
"axpgn":
... crossposting ...
Non l'ho fatto io di proposito il crossposting. Si è generato a causa di cattiva connessione nel momento in cui si è inviata la domanda, è successo altre volte e le ho eliminate in tempo. Stavolta non me ne sono accorto, tu hai commentato e adesso non posso cancellare la domanda. Bastava non commentare o comunque commentare nell'altra. Poi se bisogna dare adito a certe parole per sviare un discorso fai come credi... La domanda riguardava altro e non un attacco su di me.
Sul fare cose senza senso non è la prima volta anche in matematica. Infatti alcuni matematici, fisici e in piu` in generale scienziati del passato venivano criticati dai contemporanei, perché solo "strambi, con idee strambe". Peccato che poi i posteri danno riconoscenza alle loro scoperte, per mezzo delle quali vi sono stati importanti aspetti pratici in futuro.
Non tutto può essere compreso nella maturità del secolo in cui un'idea è concepita, ciò che ora non ha senso un domani potrebbe averlo. Chissà per quali aspetti, ma non possiamo saperlo.
Non tutto può essere compreso nella maturità del secolo in cui un'idea è concepita, ciò che ora non ha senso un domani potrebbe averlo. Chissà per quali aspetti, ma non possiamo saperlo.
Forse ho sbagliato con il termine operatore, ammetto di essere poco formale.
Parlo di operatore così come si parla di operatore nabla.
Quello strumento matematico che applicato ad un oggetto matematico mi fornisce un altro oggetto matematico.
Posso applicarlo ad un valore e ottenerne un altro o in questo caso una funzione.
È chiaro che una volta individuato l'operatore bisogna edificare tutto un formalismo matematico, ma dopo aver individuato come funziona l'operatore e se esiste un operatore che fa al caso nostro.
Ad ogni modo potrebbe essere un'operazione inversa al limite, così come lo è l'integrale per la derivata
Parlo di operatore così come si parla di operatore nabla.
Quello strumento matematico che applicato ad un oggetto matematico mi fornisce un altro oggetto matematico.
Posso applicarlo ad un valore e ottenerne un altro o in questo caso una funzione.
È chiaro che una volta individuato l'operatore bisogna edificare tutto un formalismo matematico, ma dopo aver individuato come funziona l'operatore e se esiste un operatore che fa al caso nostro.
Ad ogni modo potrebbe essere un'operazione inversa al limite, così come lo è l'integrale per la derivata
"alexdr":
... alcuni matematici, fisici e in piu` in generale scienziati del passato venivano criticati dai contemporanei, perché solo "strambi, con idee strambe" ...
però definiamo "senza senso". Se io parto da un punto e decido di arrivare a un altro punto, il percorso che faccio deve avere un senso. Poi possiamo dire che a volte ad alcuni risultati ci si arriva in maniera fortuita, ma se ci si arriva, ha certamente un senso.
Definire un operatore inverso al limite, in se può aver senso per formalizzare un concetto, ma di per sé potrebbe non avere utilizzi. Intanto sarebbe un insieme di funzioni, che nel caso dei limiti ci serve poco.
Ad esempio esempio, quante funzioni esistono che danno come limite $1$ per $x->c$? basta che per $x->c$ una generica famiglia di funzioni tenda a $0$, allora $f_i(x)+1$ ha come limite $1$. Capisci che non è molto utile definirlo, a meno di strette condizioni. Tipo:
- una tipologia di funzioni(irrazionali, polinomiali, logaritmiche, ecc..)
- informazioni sul grafico
- ecc
Le condizioni devono essere strette, e per strette intendo che restringono l'insieme, perché:
$f_(a_n)(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$
per dire: quali sono le funzioni polinomiali, tali per cui $lim_(x->0)f_(a_n)(x)=1$?
una qualunque funzione della famiglia $f_(a_n)(x)-a_0+1$ soddisfa questa condizione.
Ma anche $(f_(a_n)(x)-a_0)^m+1,m inRR$ ammette lo stesso limite.
Quando si parla di integrali, ci serve trovare la famiglia di funzioni, perché il calcolo integrale serve sia per il calcolo delle aree, dei volumi, delle lunghezze, ecc.. sia per le equazioni differenziali. Quindi in quel caso è indispensabile porsi il problema.
Quì la domanda dalla quale devi partire è: "quale sarebbe la sua utilità?"
"alexdr":
Non l'ho fatto io di proposito il crossposting.
Non dubito che sia involontario però controllare ciò che si invia, sia prima che dopo, sarebbe una buona regola, a maggior ragione se ti è già capitato.
E comunque si poteva cancellare ... le giustificazioni che porti in proposito
"alexdr":non mi paiono convincenti: la prima perché trovo strano che uno posti sperando di non essere commentato, la seconda perché forse ti sfugge il fatto che sono stato io il primo a commentare perciò che l'abbia fatto qui o l'avessi fatto di là, non sarebbe cambiato niente ...
... tu hai commentato e adesso non posso cancellare la domanda. Bastava non commentare o comunque commentare nell'altra. ...
Ma tornando in argomento, mi pare che chi sta "sviando" non sia io perché nel mio primo post, prima di quella chiosa finale ti ho mostrato quale infinità varietà di funzioni (sia come numero che come tipologia) sta "a monte" di un limite; ora se il primo passo può essere quello di avere idee, per quanto "strambe", il secondo è quello di chiedersi " a cosa può servire", che peraltro mi pare sia anche il tuo pensiero
"alexdr":, ma che contesti se me lo pongo io ...
... un domani potrebbe averlo. Chissà per quali aspetti, ...
Cordialmente, Alex
Non sono un matematico, la mia era più un gettare dei semi in modo che qualcuno ne cercasse l'utilità...
Propongo esempio ma non so se può andar bene.
Quando facciamo un limite è come avvicinarci alla funzione in un punto che ci interessa e capire cosa succede, o cosa succede all'infinito alla funzione. È come fare una specie di zoom.
Allora fare l'inverso del limite potrebbe trattarsi di fare uno zoom ampiamente indietro, "dezoommare" la situazione della funzione nel punto.
Quale potrebbe essere l'utilità?
Azzardo un'ipotesi, forse potrebbe essere correlato con lo studio della traiettoria di un corpo celeste. Guardare in grande certe situazioni.
Ovviamente scartando delle classi di funzioni. Se la traiettoria è ellittica escludero' tutte quelle funzioni lineari ad esempio e considerero` una classe di funzioni che mi approssima meglio ad un'ellisse tra le tutte possibili. Si ci potrebbe costruire tutta una teoria dietro.
Altre utilità magari sui mercati azionari, sul PIL, sulla crescita/decrescita demografica...
Che ne so io. Non ho la palla di vetro, il concetto potrebbe tornare utile ai posteri per ampliare una certa teoria che necessità di quel "strumento matematico". L'utilità non sono io a deciderla, se la trovo bene, altrimenti saranno altri scienziati a darne un senso.
Non ho fatto analisi complessa, quindi non so di cosa starò parlando... Anche il numero i immaginario fu inventato come strumento artificio matematico per risolvere un'equazione di secondo grado con ∆<0, ma a chi venne questa idea non penso che avesse intuito tutta la teoria che ci si costruì in seguito e le sue applicazioni, che penso siano importanti... Una volta avevo letto che si applicano anche in elettrotecnica o acustica.
Però è chiaro che deve poter essere sviluppabile, il senso lo si da dopo e il matematico-fisico o in generale scienziato individuano come poter utilizzare lo strumento.
Se non può essere sviluppabile allora in quel caso non ha senso.
La matematica ha un senso, e se ci sono strumenti matematici che possono essere costruiti avranno un senso.
Se per la matematica questi strumenti non possono esistere allora si parla di niente.
Che senso hanno i numeri ce ne sono infiniti! Che senso hanno due rette parallele?! Ne posso trovare infinite.
È invece interessante la teoria che ci si costruisce dietro e il senso lo si dà con il tempo.
Chi usava i numeri per contare le pecore avrebbe mai pensato che da essi sarebbero nate varie teorie come: quella sui numeri primi, gli assiomi di Peano sui numeri naturali, numeri razionali ecc? O che sarebbero serviti in svariati campi della scienza (che ancora non esistevano realmente quando furono concepiti)?
Propongo esempio ma non so se può andar bene.
Quando facciamo un limite è come avvicinarci alla funzione in un punto che ci interessa e capire cosa succede, o cosa succede all'infinito alla funzione. È come fare una specie di zoom.
Allora fare l'inverso del limite potrebbe trattarsi di fare uno zoom ampiamente indietro, "dezoommare" la situazione della funzione nel punto.
Quale potrebbe essere l'utilità?
Azzardo un'ipotesi, forse potrebbe essere correlato con lo studio della traiettoria di un corpo celeste. Guardare in grande certe situazioni.
Ovviamente scartando delle classi di funzioni. Se la traiettoria è ellittica escludero' tutte quelle funzioni lineari ad esempio e considerero` una classe di funzioni che mi approssima meglio ad un'ellisse tra le tutte possibili. Si ci potrebbe costruire tutta una teoria dietro.
Altre utilità magari sui mercati azionari, sul PIL, sulla crescita/decrescita demografica...
Che ne so io. Non ho la palla di vetro, il concetto potrebbe tornare utile ai posteri per ampliare una certa teoria che necessità di quel "strumento matematico". L'utilità non sono io a deciderla, se la trovo bene, altrimenti saranno altri scienziati a darne un senso.
Non ho fatto analisi complessa, quindi non so di cosa starò parlando... Anche il numero i immaginario fu inventato come strumento artificio matematico per risolvere un'equazione di secondo grado con ∆<0, ma a chi venne questa idea non penso che avesse intuito tutta la teoria che ci si costruì in seguito e le sue applicazioni, che penso siano importanti... Una volta avevo letto che si applicano anche in elettrotecnica o acustica.
Però è chiaro che deve poter essere sviluppabile, il senso lo si da dopo e il matematico-fisico o in generale scienziato individuano come poter utilizzare lo strumento.
Se non può essere sviluppabile allora in quel caso non ha senso.
La matematica ha un senso, e se ci sono strumenti matematici che possono essere costruiti avranno un senso.
Se per la matematica questi strumenti non possono esistere allora si parla di niente.
Che senso hanno i numeri ce ne sono infiniti! Che senso hanno due rette parallele?! Ne posso trovare infinite.
È invece interessante la teoria che ci si costruisce dietro e il senso lo si dà con il tempo.
Chi usava i numeri per contare le pecore avrebbe mai pensato che da essi sarebbero nate varie teorie come: quella sui numeri primi, gli assiomi di Peano sui numeri naturali, numeri razionali ecc? O che sarebbero serviti in svariati campi della scienza (che ancora non esistevano realmente quando furono concepiti)?
Comunque è stato un errore mio non controllare dopo averlo inviato, cosa di cui cerco di fare spesso e infatti molte volte sono riuscito a cancellare la doppia domanda in tempo. Con il fatto di non commentare mi riferivo a non commentare la domanda doppia ma quella principale
Questa discussione direi che sta creando un po’ troppa confusione. Come ho già detto dall’altra parte, esiste un qualcosa di simile a quello a cui parli. Sto pensando ai germi delle funzioni oppure ai Jets. Sono argomenti che studiano più i geometri.
Di per sé il limite è un operatore piuttosto poco potente comunque e di poco interesse al di fuori dei primi corsi di analisi. Esistono infatti concetti di convergenza più espressivi. Tra l’altro nel caso delle funzioni continue si limita ad essere l'operatore valutazione.
Ti farà comunque piacere sapere che effettivamente il limite è un operatore, nel senso dell'analisi moderna. Un operatore infatti non è altro che una applicazione lineare tra spazi (lineari) di funzioni. Derivate, integrali e limiti sono in effetti lineari.
Insomma se il limite di \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) esiste ed è finito allora \(\displaystyle \lim (\lambda f+\mu g) = \lambda \lim f + \mu \lim g \). Ora, se nel caso della derivata il kernel è l'insieme delle funzioni costanti, nel caso del limite ci si trova di fronte ad un ipersuperficie di un spazio vettoriale infinito. In pratica è come se avessi a che fare con l'intero insieme delle funzioni.
Penso che sia utile fare altre due precisazioni:
[list=1][*:nuiwd0sx] L'importanza dell'integrale è indipendente da quella della derivazione e il loro legame, dato dal teorema fondamentale del calcolo integrale, ha vari punti problematici (a meno di usare una definizione di integrale molto generale). Penso inoltre che il loro legame sia stato scoperto successivamente alla loro creazione indipendente (ma non sono molto ferrato in storia della matematica quindi potrei sbagliarmi).[/*:m:nuiwd0sx]
[*:nuiwd0sx] Il desiderio del tuo professore di mantenere un alone romantico alla figura del matematico è ammirevole, ma non più attuale come lo era ai tempi di Hardy. Tutto ciò che si studia ad una triennale di matematica ha molto senso, non c'è nulla che non sia stato usato con successo da almeno 30 anni (molto di più se ci limitiamo all'analisi). E anche ciò che studia un professore universitario, seppur dettato dal proprio personale interesse e gusto, generalmente è anche influenzato dagli interessi delle persone con cui collabora e dall'utilità pratica dei suoi lavori. Insomma i matematici cercano di rispondere a domande che loro e i loro colleghi trovano interessanti o utili e non tanto dal creare cose belle. [/*:m:nuiwd0sx][/list:o:nuiwd0sx]
Di per sé il limite è un operatore piuttosto poco potente comunque e di poco interesse al di fuori dei primi corsi di analisi. Esistono infatti concetti di convergenza più espressivi. Tra l’altro nel caso delle funzioni continue si limita ad essere l'operatore valutazione.
Ti farà comunque piacere sapere che effettivamente il limite è un operatore, nel senso dell'analisi moderna. Un operatore infatti non è altro che una applicazione lineare tra spazi (lineari) di funzioni. Derivate, integrali e limiti sono in effetti lineari.
Insomma se il limite di \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) esiste ed è finito allora \(\displaystyle \lim (\lambda f+\mu g) = \lambda \lim f + \mu \lim g \). Ora, se nel caso della derivata il kernel è l'insieme delle funzioni costanti, nel caso del limite ci si trova di fronte ad un ipersuperficie di un spazio vettoriale infinito. In pratica è come se avessi a che fare con l'intero insieme delle funzioni.
Penso che sia utile fare altre due precisazioni:
[list=1][*:nuiwd0sx] L'importanza dell'integrale è indipendente da quella della derivazione e il loro legame, dato dal teorema fondamentale del calcolo integrale, ha vari punti problematici (a meno di usare una definizione di integrale molto generale). Penso inoltre che il loro legame sia stato scoperto successivamente alla loro creazione indipendente (ma non sono molto ferrato in storia della matematica quindi potrei sbagliarmi).[/*:m:nuiwd0sx]
[*:nuiwd0sx] Il desiderio del tuo professore di mantenere un alone romantico alla figura del matematico è ammirevole, ma non più attuale come lo era ai tempi di Hardy. Tutto ciò che si studia ad una triennale di matematica ha molto senso, non c'è nulla che non sia stato usato con successo da almeno 30 anni (molto di più se ci limitiamo all'analisi). E anche ciò che studia un professore universitario, seppur dettato dal proprio personale interesse e gusto, generalmente è anche influenzato dagli interessi delle persone con cui collabora e dall'utilità pratica dei suoi lavori. Insomma i matematici cercano di rispondere a domande che loro e i loro colleghi trovano interessanti o utili e non tanto dal creare cose belle. [/*:m:nuiwd0sx][/list:o:nuiwd0sx]
"alexdr":
... Con il fatto di non commentare mi riferivo a non commentare la domanda doppia ma quella principale
E quale sarebbe la principale? Perché ho postato prima io in questo thread che vict85 nell'altro ...
Ok grazie per le risposte e chiedo scusa per il tempo perso
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