Operatore integrale positivo sse Nucleo positivo
Come dimostro che un operatore integrale e' def. positivo se e solo se il suo nucleo e' maggiore o uguale a zero?
In una direzione mi pare abbastanza ovvio, ma il provare che operatore definito positivo implica nucleo maggiore o uguale a zero non mi sembra banalissimo se si vogliono fissare tutti i dettagli.
Qualcuno ha riferimenti bibliografici o suggerimenti da darmi in caso?
Tia.
In una direzione mi pare abbastanza ovvio, ma il provare che operatore definito positivo implica nucleo maggiore o uguale a zero non mi sembra banalissimo se si vogliono fissare tutti i dettagli.
Qualcuno ha riferimenti bibliografici o suggerimenti da darmi in caso?
Tia.
Risposte
Dai più dettagli. Non sono sicuro che la cosa sia vera. Anzi, per come l'hai messa mi pare proprio che sia falsa. Cosa intendi per "operatore integrale", un oggetto come nella formula seguente?
\[(Tf)(x)=\int_a^b K(x, y)f(y)\, dy,\qquad f \in L^2([a, b])\]
Se si allora la proprietà è falsa. Questi operatori sono una sorta di versione continua degli operatori lineari finito-dimensionali:
\[(Tf)_j=\sum_{i=1}^n K_{i j } f_i, \qquad f \in \mathbb{C}^n\]
dove \(K\) è una matrice simmetrica. Ora, così come esistono matrici simmetriche definite positive le cui entrate non sono tutte positive, ad esempio
\[(K_{i j})=\begin{bmatrix} 1 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{bmatrix}, \]
così esistono nuclei continui \(K(x, y)\) non puntualmente positivi ma tali che l'operatore integrale associato è definito positivo. So che questo non è un controesempio ma spero di avere reso l'idea
PS: Anche l'implicazione opposta è falsa. Come la matrice
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\]
ha tutte entrate positive, ma non è definita positiva, così esistono nuclei integrali puntualmente positivi ma non definiti positivi.
\[(Tf)(x)=\int_a^b K(x, y)f(y)\, dy,\qquad f \in L^2([a, b])\]
Se si allora la proprietà è falsa. Questi operatori sono una sorta di versione continua degli operatori lineari finito-dimensionali:
\[(Tf)_j=\sum_{i=1}^n K_{i j } f_i, \qquad f \in \mathbb{C}^n\]
dove \(K\) è una matrice simmetrica. Ora, così come esistono matrici simmetriche definite positive le cui entrate non sono tutte positive, ad esempio
\[(K_{i j})=\begin{bmatrix} 1 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{bmatrix}, \]
così esistono nuclei continui \(K(x, y)\) non puntualmente positivi ma tali che l'operatore integrale associato è definito positivo. So che questo non è un controesempio ma spero di avere reso l'idea
PS: Anche l'implicazione opposta è falsa. Come la matrice
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\]
ha tutte entrate positive, ma non è definita positiva, così esistono nuclei integrali puntualmente positivi ma non definiti positivi.
Del fatto sono moderatamente sicuro dato che e' stato menzionato a lezione. Nel dettaglio
$A$ operatore integrale di nucleo $K(x,y) \in L^2(X \times Y)$ se $ Au(x) = \int_Y K(x,y)u(y)d\mu(y)$.
$A$ e' detto positivo se soddisfa una delle tre proprieta' equivalenti:
1.$|Au(x)| \leq A|u|(x)$ a.e. $x$
2.$A$ mappa funzioni reali in funzioni reali
3.$Au(x) \geq 0 \forall u \geq 0$, a.e.$x$
In una direzione la proprieta' mi pare evidente: prendi $u \geq 0$ a.e. $x$ e $K(x,y) \geq 0$ hai $Au(x) = \int_Y K(x,y)u(y)d\mu(y)$ quindi integri qualcosa che e' positivo quasi certamente su un insieme di misura positiva, quel che ottieni penso si possa affermare senza troppi patemi essere maggiore o al piu' uguale a 0, giusto?
Nell'altre direzione ho qualche perplessit' di piu' e la conclusione dovrebbe portare ad avere $K(x,y) \geq 0$ quasi certamente in misura prodotto.
Credo che la cosa mal posta nel mio precedente intervento fosse usare "definito positivo" invece di "positivo", me ne son reso conto solo ora.
$A$ operatore integrale di nucleo $K(x,y) \in L^2(X \times Y)$ se $ Au(x) = \int_Y K(x,y)u(y)d\mu(y)$.
$A$ e' detto positivo se soddisfa una delle tre proprieta' equivalenti:
1.$|Au(x)| \leq A|u|(x)$ a.e. $x$
2.$A$ mappa funzioni reali in funzioni reali
3.$Au(x) \geq 0 \forall u \geq 0$, a.e.$x$
In una direzione la proprieta' mi pare evidente: prendi $u \geq 0$ a.e. $x$ e $K(x,y) \geq 0$ hai $Au(x) = \int_Y K(x,y)u(y)d\mu(y)$ quindi integri qualcosa che e' positivo quasi certamente su un insieme di misura positiva, quel che ottieni penso si possa affermare senza troppi patemi essere maggiore o al piu' uguale a 0, giusto?
Nell'altre direzione ho qualche perplessit' di piu' e la conclusione dovrebbe portare ad avere $K(x,y) \geq 0$ quasi certamente in misura prodotto.
Credo che la cosa mal posta nel mio precedente intervento fosse usare "definito positivo" invece di "positivo", me ne son reso conto solo ora.
Aspetta aspetta non ci confondiamo. Scrivi per bene cosa stai cercando di dimostrare, senza risparmiare sulle parole. Scrivi le definizioni e l`equivalenza che vuoi provare. In questo contesto le definizioni sono molto ballerine e se non ci capiamo finiremo per perdere tempo tutti.
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