Operatore compatto
Ho qualche fotocopia in cui c'è questo esempio:
Sia $A:l^2->l^2$ così definito: $A({x_n})={1/2^n*x_n}$ è compatto, perchè $A$ manda la sfera unitaria di $l^2$ in un insieme di punti contenuto all'interno del parallelepidedo fondamentale. Di conseguenza, questo insieme è completamente limitato e quindi anche precompatto.
A me manca qualche nozione: non so cos'è il parallelepipedo fondamentale, non so cosa voglia dire completamente limitato e di conseguenza non so neanche perchè implica che sia precompatto. Io ho provato a dimostrare con le successioni che la chiusura in norma di $A(B_1(0))$ è compatto, senza riuscirci e domandandomi se avesse senso, mi pare di sì ma la topologia di questi spazi mi sfugge
Se qualcuno sa darmi qualche spiegazione o dirmi dove posso guardare sarebbe fantastico
Sia $A:l^2->l^2$ così definito: $A({x_n})={1/2^n*x_n}$ è compatto, perchè $A$ manda la sfera unitaria di $l^2$ in un insieme di punti contenuto all'interno del parallelepidedo fondamentale. Di conseguenza, questo insieme è completamente limitato e quindi anche precompatto.
A me manca qualche nozione: non so cos'è il parallelepipedo fondamentale, non so cosa voglia dire completamente limitato e di conseguenza non so neanche perchè implica che sia precompatto. Io ho provato a dimostrare con le successioni che la chiusura in norma di $A(B_1(0))$ è compatto, senza riuscirci e domandandomi se avesse senso, mi pare di sì ma la topologia di questi spazi mi sfugge
Se qualcuno sa darmi qualche spiegazione o dirmi dove posso guardare sarebbe fantastico
Risposte
$A$ è lineare, immagino 
Chi sia il "parallelepipedo fondamentale" non so, ma un cosa tipo $\prod_{n \in NN} [\frac{-x_n}{n}, \frac{x_n}{n}]$ potrebbe esserlo. Non è una terminologia "universale", direi.
Ah, $x_n$ è la solita base ortonormale completa, immagino
Per un riferimento a quei termini strani, guarda qui:
http://planetmath.org/encyclopedia/PrecompactSet.html
Chi sia il "parallelepipedo fondamentale" non so, ma un cosa tipo $\prod_{n \in NN} [\frac{-x_n}{n}, \frac{x_n}{n}]$ potrebbe esserlo. Non è una terminologia "universale", direi.
Ah, $x_n$ è la solita base ortonormale completa, immagino
Per un riferimento a quei termini strani, guarda qui:
http://planetmath.org/encyclopedia/PrecompactSet.html
okay, hai ragione su tutti i fronti
abbozzo un'idea: devo mostrare che $A(B_1)$ è totalmente limitato, ovvero che $AAepsilon>0$ può essere ricoperto con un numero finito di palle di raggio $epsilon$ centrate in elementi di $A(B_1)$
Sia $P$ il "parallelepipedo fondamentale" definito sopra
fisso $epsilon>0$, e $x in P$ allora $|x_i|<=1/2^i$ quindi $sum_(i=k+1)^(+oo) |x_i|^2<=sum_(i=k+1)^(+oo) 1/2^(2i)
considero ora $barA:l^2->RR^k$ definito come $A$ troncato alle prime k coordinate, stavolta $bar(A)(B_1)$ è precompatto perchè limitato in uno spazio finito-dimensionale quindi è ricoperto da palle di raggio $epsilon$ centrate in $y_1,...,y_m$ (nella norma 2 di $RR^k$)
prendo un elemento $x in A(B_1)$ questo si può scrivere $x=z+y$ con $z in barA(B_1)$ (nel senso che ha le coordinate n-esime nulle con $n>k$) e $y in P$, ora per $z$ esiste $t$ tale che $||z-y_t||
(ho identificato i vettori di $RR^k$ con i vettori di $l^2$ con solo le prime k coordinate diverse da zero, risulta per due di questi vettori x,y:$||x-y||_(RR^k)=||x-y||_(l^2)$)
è scritto con i piedi ma mi pare che l'idea sia giusta, grazie Fioravante
abbozzo un'idea: devo mostrare che $A(B_1)$ è totalmente limitato, ovvero che $AAepsilon>0$ può essere ricoperto con un numero finito di palle di raggio $epsilon$ centrate in elementi di $A(B_1)$
Sia $P$ il "parallelepipedo fondamentale" definito sopra
fisso $epsilon>0$, e $x in P$ allora $|x_i|<=1/2^i$ quindi $sum_(i=k+1)^(+oo) |x_i|^2<=sum_(i=k+1)^(+oo) 1/2^(2i)
considero ora $barA:l^2->RR^k$ definito come $A$ troncato alle prime k coordinate, stavolta $bar(A)(B_1)$ è precompatto perchè limitato in uno spazio finito-dimensionale quindi è ricoperto da palle di raggio $epsilon$ centrate in $y_1,...,y_m$ (nella norma 2 di $RR^k$)
prendo un elemento $x in A(B_1)$ questo si può scrivere $x=z+y$ con $z in barA(B_1)$ (nel senso che ha le coordinate n-esime nulle con $n>k$) e $y in P$, ora per $z$ esiste $t$ tale che $||z-y_t||
(ho identificato i vettori di $RR^k$ con i vettori di $l^2$ con solo le prime k coordinate diverse da zero, risulta per due di questi vettori x,y:$||x-y||_(RR^k)=||x-y||_(l^2)$)
è scritto con i piedi ma mi pare che l'idea sia giusta, grazie Fioravante
Il parallelepipedo fondamentale potrebbe essere qualcosa del tipo cubo di Hilbert; tendo a credere che sia l'insieme:
$P:=\{ (x_n)\in l^2: AA n in NN, |x_n|<=1/n\}=\prod_(n\in NN) [-1/n,1/n]$;
noto che $P$ è compatto per il teorema di Tychonoff (visto che la norma $||\cdot ||_2$ induce su $P$ proprio la topologia prodotto di quella indotta dalla topologia naturale di $RR$ su ogni "fattore" del prodotto combinatorio $\prod_(n\in NN) [-1/n,1/n]$).
$P:=\{ (x_n)\in l^2: AA n in NN, |x_n|<=1/n\}=\prod_(n\in NN) [-1/n,1/n]$;
noto che $P$ è compatto per il teorema di Tychonoff (visto che la norma $||\cdot ||_2$ induce su $P$ proprio la topologia prodotto di quella indotta dalla topologia naturale di $RR$ su ogni "fattore" del prodotto combinatorio $\prod_(n\in NN) [-1/n,1/n]$).
Dalla risposta di Gugo vedo che avevo sbagliato nella ipotesi fatta su $x_n$, e sulla linearità.
Non avevo notato le parentesi graffe qui: $A({x_n})={1/2^n*x_n}$. Eppure erano ben evidenti.
Ovviamente ${x_n}$ rappresenta un generico elemento di $l^2$ (ovvero $x = (x_n)_{n \in NN}$).
Quindi A era definito mediante le coordinate di $x$. Non c'è bisogno di linearità né di parlare della solita base ONC (qui $x_n$ sono le coordinate di $x$, ovvero numeri reali).
Io avevo "letto" così: $A(x_n) = 1/2^n*x_n$. In tal caso le mie considerazioni avevano senso.
La prossima volta è meglio che mi metto gli occhiali.
Non avevo notato le parentesi graffe qui: $A({x_n})={1/2^n*x_n}$. Eppure erano ben evidenti.
Ovviamente ${x_n}$ rappresenta un generico elemento di $l^2$ (ovvero $x = (x_n)_{n \in NN}$).
Quindi A era definito mediante le coordinate di $x$. Non c'è bisogno di linearità né di parlare della solita base ONC (qui $x_n$ sono le coordinate di $x$, ovvero numeri reali).
Io avevo "letto" così: $A(x_n) = 1/2^n*x_n$. In tal caso le mie considerazioni avevano senso.
La prossima volta è meglio che mi metto gli occhiali.
"Fioravante Patrone":
Dalla risposta di Gugo vedo che avevo sbagliato nella ipotesi fatta su $x_n$, e sulla linearità.
Non avevo notato le parentesi graffe qui: $A({x_n})={1/2^n*x_n}$. Eppure erano ben evidenti.
Ovviamente ${x_n}$ rappresenta un generico elemento di $l^2$ (ovvero $x = (x_n)_{n \in NN}$).
Quindi A era definito mediante le coordinate di $x$. Non c'è bisogno di linearità né di parlare della solita base ONC (qui $x_n$ sono le coordinate di $x$, ovvero numeri reali).
Io avevo "letto" così: $A(x_n) = 1/2^n*x_n$. In tal caso le mie considerazioni avevano senso.
La prossima volta è meglio che mi metto gli occhiali.
è vero però di fatto veniva la stessa mappa! e mi pareva che pure il cubo avesse senso, comunque il link è stato determinante
Grazie ad entrambi.
"Gugo82":
Il parallelepipedo fondamentale potrebbe essere qualcosa del tipo cubo di Hilbert; tendo a credere che sia l'insieme:
$P:=\{ (x_n)\in l^2: AA n in NN, |x_n|<=1/n\}=\prod_(n\in NN) [-1/n,1/n]$;
noto che $P$ è compatto per il teorema di Tychonoff (visto che la norma $||\cdot ||_2$ induce su $P$ proprio la topologia prodotto di quella indotta dalla topologia naturale di $RR$ su ogni "fattore" del prodotto combinatorio $\prod_(n\in NN) [-1/n,1/n]$).
il tuo intervento mi ha fatto venire un dubbio: l'insieme $Q:=\prod_(n\in NN) [-1,1]$ è compatto? io prima avrei detto di no, pensando di usare la stessa tecnica che si usa per la sfera, però sembra un prodotto di compatti e quindi boh! dov'è che sbaglio?
Ovviamente è compatto con la topo prodotto. Il teorema di Tychonoff non è stato confutato in giornata.
L'inghippo sta nella identificazione topologica di questo spazio (il cubo di Hilbert) con la sfera unitaria.
E' qui che entra in gioco il "parallelepipedo...".
Vedi:
http://mathworld.wolfram.com/HilbertCube.html
Anche wiki, mi pare (ma non ci metto la mano sul fuoco):
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_cube
Magari meglio questo:
http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/prod.pdf
L'inghippo sta nella identificazione topologica di questo spazio (il cubo di Hilbert) con la sfera unitaria.
E' qui che entra in gioco il "parallelepipedo...".
Vedi:
http://mathworld.wolfram.com/HilbertCube.html
Anche wiki, mi pare (ma non ci metto la mano sul fuoco):
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_cube
Magari meglio questo:
http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/prod.pdf
Io volevo dedurre dalla compattezza di $Q$ la compattezza di $Q sub l^2$ come aveva fatto Gugo con $P=prod [-1/n,1/n]$, mi ero posto un problema senza senso in quanto $Q$ non sta in $l^2$.
Per questo il mio riferimento alla sfera, mi chiedevo come faceva ad essere compatto $Q$ se conteneva la successione ${e_n}$ che non ha sottosuccessioni convergenti in $l^2$, che è lo stesso ragionamento che si usa per dimostrare che la sfera in infinite dimensioni non è compatta. Comunque quella successione converge nella topologia prodotto, perchè è sufficiente che convergano le componenti (da quello che ho capito delle dispense).
Grazie di nuovo, dovrei aver afferrato almeno il necessario
ps devo imparare a pensare 2 volte prima di fare le domande e spiegarmi in maniera decente. stanotte ho litigato con una zanzara e col cane quindi ho dormito poco, se può servire a scusarmi
Per questo il mio riferimento alla sfera, mi chiedevo come faceva ad essere compatto $Q$ se conteneva la successione ${e_n}$ che non ha sottosuccessioni convergenti in $l^2$, che è lo stesso ragionamento che si usa per dimostrare che la sfera in infinite dimensioni non è compatta. Comunque quella successione converge nella topologia prodotto, perchè è sufficiente che convergano le componenti (da quello che ho capito delle dispense).
Grazie di nuovo, dovrei aver afferrato almeno il necessario
ps devo imparare a pensare 2 volte prima di fare le domande e spiegarmi in maniera decente. stanotte ho litigato con una zanzara e col cane quindi ho dormito poco, se può servire a scusarmi
"rubik":e io due volte prima di rispondere!
ps devo imparare a pensare 2 volte prima di fare le domande
Tanti saluti al tuo cane da Fuser.
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