Olomorfia logaritmo in C
Ciao, sto studiando complementi di analisi e sono molto confuso su un argomento: so che la determinazione principale della funzione logaritmo è continua e olomorfa in $CC\\ \{ z in CC | Re(z) <= 0, Im(z) = 0 \}$; se volessi sapere ora dove è continua e olomorfa non la determinazione principale (che è quella ottenuta per $a=0$, cioè con $ arg in [-pi,pi] $ ma ad esempio la determinazione che ottengo per $a=2pi$? Non so se è un'idiozia ma potrebbe essere $CC\\ \{ z in CC | Im(z) >= 0, Re(z) = 0 \}$ l'insieme che cerco? Grazie in anticipo.
Risposte
Si che potrebbe essere, bisogna solo vedere chi è \(a\). Non è una notazione universale, dovresti spiegarci che cosa intendi per quel simbolo.
L'idea è che, per ottenere una qualsiasi determinazione olomorfa del logaritmo, ti basta eliminare dal piano di Gauss (o dalla sfera di Riemann) una curva semplice che congiunge \(0\) ed \(\infty\).
Nel caso della determinazione principale (i.e. quella ottenuta facendo variare \(\operatorname{arg} (z)\) in \(]-\pi, \pi]\)) si elimina la semiretta reale negativa, che è la "naturale" curva di discontinuità di tale determinazione, ossia è quella curva \(\Gamma\) tale che:
\[
\lim_{z\to z_0,\ \operatorname{arg}(z)\to \pi} \log z \neq \lim_{z\to z_0,\ \operatorname{arg}(z)\to -\pi} \log z
\]
per ogni \(z_0\in \Gamma\).
Per le altre determinazioni, basterà eliminare dal piano di Gauss la loro curva di discontinuità "naturale".
Ad esempio, se ti interessa la determinazione del logaritmo che si ottiene facendo variare \(\operatorname{arg} (z)\in ]0,2\pi]\) (quindi \(a=\pi\)), dovrai eliminare dal piano il semiasse reale positivo; analogamente, se ti interessa la determinazione ottenuta per \(\operatorname{arg}(z) \in ]-4/3 \pi, 2/3 \pi]\) (con \(a=-\pi/3\)) dovrai eliminare la semiretta uscente da \(0\) con anomalia \(\theta =2/3 \pi\).
@dissonance: Credo che pipporossonero intenda con \(a\) il "centro" dell'intervallo di ampiezza \(2\pi\) che serve per individuare le determinazioni univoche massimali del logaritmo.
Nel caso della determinazione principale (i.e. quella ottenuta facendo variare \(\operatorname{arg} (z)\) in \(]-\pi, \pi]\)) si elimina la semiretta reale negativa, che è la "naturale" curva di discontinuità di tale determinazione, ossia è quella curva \(\Gamma\) tale che:
\[
\lim_{z\to z_0,\ \operatorname{arg}(z)\to \pi} \log z \neq \lim_{z\to z_0,\ \operatorname{arg}(z)\to -\pi} \log z
\]
per ogni \(z_0\in \Gamma\).
Per le altre determinazioni, basterà eliminare dal piano di Gauss la loro curva di discontinuità "naturale".
Ad esempio, se ti interessa la determinazione del logaritmo che si ottiene facendo variare \(\operatorname{arg} (z)\in ]0,2\pi]\) (quindi \(a=\pi\)), dovrai eliminare dal piano il semiasse reale positivo; analogamente, se ti interessa la determinazione ottenuta per \(\operatorname{arg}(z) \in ]-4/3 \pi, 2/3 \pi]\) (con \(a=-\pi/3\)) dovrai eliminare la semiretta uscente da \(0\) con anomalia \(\theta =2/3 \pi\).
@dissonance: Credo che pipporossonero intenda con \(a\) il "centro" dell'intervallo di ampiezza \(2\pi\) che serve per individuare le determinazioni univoche massimali del logaritmo.
Grazie Gugo sei stato chiarissimo, per a intendevo proprio quello scusate mi ero dimenticato di specificarlo 
...siete fortissimi grazie ancora 
...siete fortissimi grazie ancora
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