Olomorfia e singolarità all'infinito

[eliotsbowe]

Salve, come suggerisce il titolo, sono alle prese con lo studio delle singolarità e vorrei sottoporre alla vostra attenzione un quesito che, sfogliando vari libri di testo, non sono riuscito a risolvere.

Voglio studiare l'olomorfia intorno all'infinito (e nel punto $\infty$) di una funzione del tipo:

$\frac{sinz}{1 - cosz}$

questa funzione ha in $z=k \pi$ (per k intero relativo pari) infiniti poli semplici.

Ora, se rappresento questi poli sul piano complesso, essendo essi infiniti, non posso trovare un cerchio di centro l'origine e di raggio finito che li contenga tutti, per tanto la funzione non è olomorfa intorno all'infinito, o sbaglio?

La funzione in questione, però, converge nel punto $z=\infty$ e sul mio libro di testo c'è scritto:

"f olomorfa in $\infty$ se e solo se esiste finito $lim_{z \to \infty} f(z)$ "

Inoltre, posto $w = \frac{1}{z}$ se considero lo sviluppo in serie di Laurent (intorno a 0) della funzione
$g(w) = f(\frac{1}{w})$, quando vado a calcolare i coefficienti ottengo:
$a_{0} = 1$
$a_{n} = 0$ per n positivo

per cui g(w) è olomorfa intorno a 0, da cui f(z) olomorfa intorno all'infinito.

.....Dove sbaglio?


Grazie anticipatamente.

[K.Lomax]

Postandolo nella sezione Analisi matematica avrai una maggiore probabilità di risposta



[size=75]Spostato
Camillo[/size]