Ogni successione limitata ha una sottosucc. convergente

[meng1]

Salve a tutti. Ho dei problemi nel capire alcuni passaggi di questa dimostrazione, quando si considera A infinito. Non ho capito come si arriva al punto in cui si definisce $a_{kn}$ per induzione, qualcuno mi può aiutare?

Data la successione $ \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ consideriamo l'insieme $ \{ a_n : n \in \mathbb{N} \}= A$.

Se A è finito allora uno di essi è assunto da infiniti indici. Perciò esiste una sottosuccessione costante, che ha quindi limite finito.

A è infinito, allora A ha un punto di accumulazione $l \in \mathbb{R}$. Costruiamo una sottosuccessone che ha limite l. Dato $N=1$, sia $k_1$ un indice tale che $a_{k1} \in (l-1,l+1)$. Questo punto esiste perchè l è punto di accumulazione di A.
Dato ora $k_n \in \mathbb{N}$ sia $ k_{n+1} > k_n$ un indice tale che
\[
a_{kn+1} \in \left ( l - \frac{1}{n+1}, l + \frac{1}{n+1} \right ).
\]
Per induzione è definita $ a_{kn}$ e si ha:
\[
0 \leq |a_{kn}-l|< \frac{1}{n}
\]
Per il teorema del confronto si ha quindi:
\[
\lim_{n \to +\infty} |a_{kn} - l|=0 \Leftrightarrow \lim_{ n \to +\infty} a_{kn} =l
\]

[theras]

Ciao,e benvenuto!
A me pare che di fatto ti stiano dicendo che,fermo restante come $EEk_1inNN$ t.c $a_(k_1)in(l-1,l+1)$,
dovrai verificare per induzione che $AAn$$inNN$ $EEk_(n+1)inNN$ t.c. $k_(n+1)>k_n$^$|a_(k_(n+1))-l|<1/(n+1)$;
base ed ipotesi induttiva,in questo procedimento,posson dimostrarsi formalmente partendo proprio dal fatto che,
per il teorema di Bolzano,$DA\neemptyset$ ed usando la definizione di punto d'accumulazione per $l$$inDA$:
ad occhio,se hai intoppi,da qualche parte dovrebbe esserti utile un procedimento per assurdo..
Provaci da solo,e nel caso ne riparliamo dopo:
saluti dal web