Ogni successione convergente è limitata

[tianigel]

Sul mio libro di analisi matematica c'è la dimostrazione del teorema: ogni successione convergente è limitata.
Si suppone che la successione $a_n$ converga ad $a$ e si sceglie un $\epsilon=1$. In base alla definizione di limite $EE \nu$ per cui $|a_n-a|<1$ per ogni $n>\nu$.
Quindi utilizza la disuguaglianza triangolare:
$|a_n|=|(a_n-a)+a|<=|a_n-a|+|a|<1+|a|, AAn>\nu$

Risulta che $AA n in NN$ si ha:
$|a_n|<=M=max{|a_1|, |a_2|,...|a_\nu|, 1+|a|}$

Ecco, non riesco a capire perché M debba essere il massimo fra questi elementi. Il dubbio mi viene da ciò che segue:

per la successione $a_n=(n-1)/n$ mi risulta $M=1$ ma per il teorema sopra enunciato M dovrebbe essere il massimo fra gli elementi dell'insieme ${|a_1|, |a_2|,...|a_\nu|, 1+|a|}$, cioè $1+|a|$ ovvero $M=2$.

[yellow2]

L'importante è darne una limitazione, non importa quanto precisa. Anche perché è una dimostrazione che vale per il caso generale e sarebbe impossibile avvicinarsi alla realtà di ogni successione convergente. Si sceglie $epsilon=1$ per semplicità ma si potrebbe prendere molto più piccolo!
D'altra parte l'utilità è proprio nel fatto che si riesce ad affermare una cosa molto forte (la limitatezza) anche per successioni difficili da studiare, in cui non si riesce a capire davvero l'estremo superiore delle norme.

[tianigel]

Ma se anche scegliessi un $\epsilon$ piccolissimo $M=0,00000....1+|a|$, $M$ non coinciderebbe comunque con il limite=estremo superiore.
Questo vuol dire che $M$ non è uguale a 1 per $a_n=(n-1)/n$ ?

[yellow2]

L'estremo superiore è uguale a $1$, ma non te lo dice il teorema! Il teorema ti dice solo che $M$ esiste. E' ovvio che in casi semplici come questo puoi vederlo a occhio che esiste e anche quanto vale, quindi il teorema di fatto è inutilizzato, ma devi guardarne la portata generale per capirne la potenza.

[tianigel]

Dal teorema risulta comunque che M (in questo caso) deve essere maggiore del limite. E qui non lo è perché coincidono.

[yellow2]

Ma il teorema non parla di estremo superiore! "Trova" sesplicemente un maggiorante, che non per forza è il minimo. Non c'è niente che deve coincidere quindi.