Ogni spazio metrico completo è chiuso?
A senso direi di sì, ma non so come dimostrarlo.
Se $(X,d)$ è uno spazio metrico,partendo dal fatto che ogni successione di Cauchy converge in $X$ dovrei arrivare a dire che $X$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
So che ogni spazio metrico compatto è completo, se valesse il viceversa sarei a posto, ma temo che non sia così, o mi sbaglio? (Non mi sbaglio perchè mi sono appena accorto che $RR$ è completo, ma non compatto.)
Qualcuno sa dirmi come fare e se si può fare?
Se $(X,d)$ è uno spazio metrico,partendo dal fatto che ogni successione di Cauchy converge in $X$ dovrei arrivare a dire che $X$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
So che ogni spazio metrico compatto è completo, se valesse il viceversa sarei a posto, ma temo che non sia così, o mi sbaglio? (Non mi sbaglio perchè mi sono appena accorto che $RR$ è completo, ma non compatto.)
Qualcuno sa dirmi come fare e se si può fare?
Risposte
Uno spazio metrico è sempre chiuso (e contemporaneamente anche aperto, insieme al suo complementare $\emptyset$).
Sto prendendo a testate il muro!
Grazie Rigel!

Grazie Rigel!
Ok, però ho un problema.
Se considero lo spazio funzionale delle funzioni limitate su $E$ a valori in $(0,+oo)=G$ : $B_G (E)$, e lo metricizzo con la metrica $d(f,g)=Sup_((x in E))|f-g|$ è uno spazio metrico, giusto? (oppure qualcosa salta già qua perchè $(0,+oo)$ non è chiuso?).
Perchè a questo punto avrei che se considero la successione $f_n(x)=1/n$ che converge alla funzione nulla (che non appartiene a $B_G(E)$) ho un punto di accumulazione che non sta nello spazio. Dove sbaglio?
Se considero lo spazio funzionale delle funzioni limitate su $E$ a valori in $(0,+oo)=G$ : $B_G (E)$, e lo metricizzo con la metrica $d(f,g)=Sup_((x in E))|f-g|$ è uno spazio metrico, giusto? (oppure qualcosa salta già qua perchè $(0,+oo)$ non è chiuso?).
Perchè a questo punto avrei che se considero la successione $f_n(x)=1/n$ che converge alla funzione nulla (che non appartiene a $B_G(E)$) ho un punto di accumulazione che non sta nello spazio. Dove sbaglio?
L'errore dipende dal fatto che stai vedendo il tuo spazio metrico $Y$ come sottoinsieme di uno spazio metrico $X$ più grande (quello delle funzioni continue da $E$ in $\RR$, ad esempio).
In $Y$ la funzione nulla non c'è, per cui non puoi nemmeno considerare i suoi intorni.
Senza fare esempi così complicati, se consideri lo spazio metrico $Y=(0,1)$ con la metrica euclidea $d$, $Y$ è chiuso.
Se invece vedi $Y$ come sottoinsieme dello spazio metrico $(\RR, d)$, allora $Y$ non è più chiuso.
In $Y$ la funzione nulla non c'è, per cui non puoi nemmeno considerare i suoi intorni.
Senza fare esempi così complicati, se consideri lo spazio metrico $Y=(0,1)$ con la metrica euclidea $d$, $Y$ è chiuso.
Se invece vedi $Y$ come sottoinsieme dello spazio metrico $(\RR, d)$, allora $Y$ non è più chiuso.
"Rigel":
L'errore dipende dal fatto che stai vedendo il tuo spazio metrico $Y$ come sottoinsieme di uno spazio metrico $X$ più grande (quello delle funzioni continue da $E$ in $\RR$, ad esempio).
Se intendevi limitate, allora mi è chiaro!
Grazie di nuovo!
Certo, limitate.