[ODE]"Asymptotics"?

[dissonance]

Mi aiutate ad interpretare questo passaggio? E' tratto da Berezin-Shubin The Schroedinger Equation, pag. 159.

[...]equation (1.36) acquires the form

[tex]$\ddot{\eta}+(1+\xi(t))\eta=0[/tex]

with an integrable function [tex]\xi[/tex], so that the asymptotics of the two basic solutions [tex]\eta^{\pm}[/tex] as [tex]t \to \infty[/tex] are

[tex]$\eta^{\pm}(t)=e^{\pm \imath t}(1+o(1)),[/tex]

[...]

Come fa a ricavare quest'ultima formula?

[gugo82]

Credo che si debba intendere così: se [tex]$\xi$[/tex] è una piccola perturbazione, allora le tue soluzioni si manterranno vicine alle soluzioni dell'equazione non perturbata [tex]$\ddot{\eta}+\eta =0$[/tex], che come sai sono [tex]$e^{\pm \imath t}$[/tex].

Tecnicamente non so come si ricavi la formula, ma non dovrebbe essere molto difficile; lo studio del comportamento asintotico degli integrali di una EDO del secondo ordine è un'argomento calssico (di quelli che ormai non si affrontano più nei corsi universitari)... Ovviamente tutto dipende dalle proprietà della [tex]$\xi$[/tex], quindi verrebbe naturale chiederti come è fatta tale funzione? (In particolare, è continua? positiva? limitata? etc...)
In alcuni casi bisogna applicare i teoremi classici sulle EDO del secondo ordine (ad esempio, il Teorema di Sturm potrebbe fare al caso tuo, se [tex]$\xi$[/tex] è ben discosta da [tex]$-1$[/tex] e limitata).

[dissonance]

E infatti è proprio come dici tu. In un capitolo precedente gli autori avevano dimostrato questo teorema, probabilmente nella composizione del libro il riferimento è saltato:

Teorema. Sia [tex]v \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] una funzione tale che
[tex]$\int_{-\infty}^{\infty}\lvert v(x) \rvert\, \mathrm{d}x < \infty.[/tex]
Allora per ogni [tex]k \in \mathbb{R}[/tex] l'equazione
[tex]$ - y''+vy=k^2y[/tex]
ha due soluzioni linearmente indipendenti [tex]y_+, y_-[/tex] tali che
[tex]$y_{\pm}(x)=e^{\pm \imath x}(1+ o(1))[/tex]
per [tex]x \to \infty[/tex].

Ovvero proprio ciò che dici tu: se si perturba l'equazione [tex]y''+k^2y=0[/tex] con una funzione "piccola", nel senso che è sommabile sull'intero asse reale, le soluzioni dell'equazione perturbata assomigliano alle soluzioni dell'equazione [tex]y''+y=0[/tex] per tempi lunghi. La dimostrazione non è proprio banale (per me). Per il momento la lascio perdere (come sai sono un po' impegnato al momento! ) magari più in là me la studio e la illustro qui.

Comunque hai ragione: il capitolo "analisi qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie" è ormai stato abbandonato dai corsi universitari. Forse perché si tende a considerarlo un arnese del passato?