[ODE] Dipendenza differenziabile dai dati iniziali
Sto leggendo il libro di Evans, Partial Differential Equations, §3.2 (caratteristiche). Ho un dubbio sulla dimostrazione del Lemma 2.
Infatti, l'autore ha una famiglia di problemi di Cauchy
[tex]$\begin{cases}\dot{p}=-DzF(p(s), z(s), u(s))p(s)-D_xF(p(s), z(s), x(s)) \\
\dot{z}=D_pF(p(s), z(s), x(s))\cdot p(s) \\
\dot{x}=D_pF(p(s), z(s), x(s))\\
x(0)=y; \\
z(0)=g(y); \\
p(0)=q(y).
\end{cases}[/tex]
dove [tex]q(y), g(y), F(p,z,y)[/tex] sono funzioni regolari. Ora l'autore scrive [tex]x=x(s; y)[/tex], ovvero con dipendenza sia dal parametro sia dal dato iniziale, e si comporta come se questa dipendenza fosse regolare in entrambe le variabili.
Non credo si usi qualche proprietà particolare del problema in esame. Secondo me c'è qualche risultato, che non conosco, secondo cui un problema di Cauchy - con certe ipotesi - dipende con regolarità dai dati iniziali. Mi date una mano?
Infatti, l'autore ha una famiglia di problemi di Cauchy
[tex]$\begin{cases}\dot{p}=-DzF(p(s), z(s), u(s))p(s)-D_xF(p(s), z(s), x(s)) \\
\dot{z}=D_pF(p(s), z(s), x(s))\cdot p(s) \\
\dot{x}=D_pF(p(s), z(s), x(s))\\
x(0)=y; \\
z(0)=g(y); \\
p(0)=q(y).
\end{cases}[/tex]
dove [tex]q(y), g(y), F(p,z,y)[/tex] sono funzioni regolari. Ora l'autore scrive [tex]x=x(s; y)[/tex], ovvero con dipendenza sia dal parametro sia dal dato iniziale, e si comporta come se questa dipendenza fosse regolare in entrambe le variabili.
Non credo si usi qualche proprietà particolare del problema in esame. Secondo me c'è qualche risultato, che non conosco, secondo cui un problema di Cauchy - con certe ipotesi - dipende con regolarità dai dati iniziali. Mi date una mano?
Risposte
La dipendenza regolare dai dati iniziali è classica; dimostrazioni di questo fatto usano il lemma di Gronwall.
Se non sbaglio, il discorso è più o meno questo: se hai un sistema del primo ordine in forma normale, con i "termini noti" di classe [tex]$C^1$[/tex], allora la soluzione locale del problema di Cauchy dipende in maniera [tex]$C^1$[/tex] dai dati iniziali (cioè, sia dal punto iniziale, sia dai valori iniziali).
Una discussione classica la trovi sul vecchissimo testo di Sansone, Equazioni Differenziali nel Campo Reale, Zanichelli, 1965 (cap. I, §5); una trattazione più moderna sta sulle dispense del prof. Berti segnalate qui (pagg. 96 e segg.).
Sempre il lemma di Gronwall serve a dimostrare la dipendenza regolare da altri parametri diversi dai dati iniziali.
P.S.: Il lemma, in varie forme, è anche nell'appendice B del testo di Evans (sezz. j & k)
Se non sbaglio, il discorso è più o meno questo: se hai un sistema del primo ordine in forma normale, con i "termini noti" di classe [tex]$C^1$[/tex], allora la soluzione locale del problema di Cauchy dipende in maniera [tex]$C^1$[/tex] dai dati iniziali (cioè, sia dal punto iniziale, sia dai valori iniziali).
Una discussione classica la trovi sul vecchissimo testo di Sansone, Equazioni Differenziali nel Campo Reale, Zanichelli, 1965 (cap. I, §5); una trattazione più moderna sta sulle dispense del prof. Berti segnalate qui (pagg. 96 e segg.).
Sempre il lemma di Gronwall serve a dimostrare la dipendenza regolare da altri parametri diversi dai dati iniziali.
P.S.: Il lemma, in varie forme, è anche nell'appendice B del testo di Evans (sezz. j & k)
Eh si grazie Gugo ho capito. Ho trovato una trattazione semplificata della questione sul testo di Salsa-Pagani Analisi matematica 2 (Zanichelli), cap. 4, pag. 223. Manca una dimostrazione ma l'idea di base è spiegata in modo rapido e convincente. Questo lo dico nel caso qualcuno dovesse incappare nel mio stesso problema.
P.S.: Ma ancora meglio, segnalo la dispensina di Fioravante
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... i_dati.pdf
P.P.S.: Per una trattazione completa si può consultare Teschl:
http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/
P.S.: Ma ancora meglio, segnalo la dispensina di Fioravante
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... i_dati.pdf
P.P.S.: Per una trattazione completa si può consultare Teschl:
http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/
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