ODE apparentemente semplice: cambio di variabili

[Fox4]

Dunque mi sono imbattuto nella seguente ODE:

[tex]\frac{d f}{d\theta}(\theta)- \frac{l}{tg\theta} f(\theta)=0[/tex] con [tex]\theta\in(0,\pi)[/tex]

per risolverla mi era venuto in mente di fare la sostituzione [tex]y=sen\theta[/tex] di modo da trasformarla in
[tex]f'(y) -\frac{l}{y} f(y)=0[/tex]

così facendo ho ottenuto la soluzione giusta (seguendo il discorso del libro), ma riguardandola dopo qualche giorno non sono convinto di quello che ho fatto!

Infatti tra [tex]0[/tex] e [tex]\pi[/tex], [tex]y=sen\theta[/tex] non è un diffeomorfismo e questo intuitivamente mi dice che c'è qualcosa che non va... dovrei dividere in due l'intervallo?
Ho provato con [tex]y=cos\theta[/tex] che non mi turba visto che è un diff, ma l'ODE non si semplifica così bene.. I miei turbamenti sono fondati? E se no, perchè no?

Scusate l'ignoranza...

[dissonance]

Se è per questo in $(0, \pi)$ l'equazione non è neanche ben definita: guarda quella tangente... Però quando si fanno queste sostituzioni spesso si va un po' a senso, esattamente come quando si applicano sostituzioni per il calcolo di integrali: se sai a priori che la soluzione esiste ed è unica, non è un problema imbrogliare un po' per trovarla, a meno che tu non sia un noiosissimo matematico.

[Rigel1]

Probabilmente l'equazione di partenza è $f'(\theta) - l \frac{\cos\theta}{\sin\theta} f(\theta) = 0$, che è definita in $(0,\pi)$.
Non mi è chiaro perché sia necessario fare cambi di variabile che generano problemi, in quanto si tratta di un'equazione lineare che si risolve immediatamente:
$f(\theta) = C\ \exp(-l \int\frac{\cos\theta}{\sin\theta}d\theta) = C(\sin\theta)^{-l}$, $\theta\in (0,\pi)$.

[Fox4]

ok, giusto, comunque l'integrale sarebbe senza il meno perché lo porti dilà dall'uguale e quindi alla fine ottengo [tex](sen\theta)^l[/tex]

Il mio problema però a questo punto è (pensando di scrivere la ODE con la cotangente):
ammettiamo di voler giustificare l'intuizione che lì ci stia un cambio di variabile col seno e di voler essere abbastanza noioso ... si potrebbe dividere in due il dominio?
Pensavo di risolverla separatamente in [tex](0,\frac{\pi}{2})[/tex] e [tex](\frac{\pi}{2},\pi)[/tex], dopo di che uno vede che la soluzione si raccorda in [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] (anche perché è proprio la stessa funzione nei due intervalli...)
Così va bene no?
O il cambio di variabile col seno è proprio un ragionamento senza senso? Non ci credo

[Rigel1]

Se ragioni sui due sottointervalli non mi sembra ci siano problemi a effettuare il cambio di variabili proposto.

[Fox4]

Quindi ecco, era qui che più o meno volevo arrivare...
dato che non ci dovrebbero essere problemi a spezzare il dominio in "quanti si voglia pezzi", si giustificano i passaggi che fisici e ingegneri (molto più ingegneri forse) impunemente fanno.
Sempre ammesso che da dominio a dominio non cambi la forma analitica della soluzione, allora bisogna proprio fare analisi per vedere di raccordare i due "pezzi di soluzione"
Giusto, no?

[dissonance]

A dire il vero il cambiamento di variabili nelle equazioni differenziali ordinarie è una cosa che ha sempre lasciato qualche dubbio anche a me. L'unica risorsa su cui l'ho visto trattare in modo un po' più preciso è la seguente:

http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp ... index.html

§1.4 "Finding explicit solutions".

Spero che ti possa essere utile.

[Fox4]

mmmh... anche nel paragrafo che mi hai indicato dice che la trasformazione deve preservare l'informazione e quindi deve essere invertibile,
ciò che intuitivamente mi creava problemi con la trasformazione [tex]y=sen\theta[/tex] tra [tex]0[/tex] e [tex]\pi[/tex]

però io sono quasi sicuro di aver visto fare impunemente persino a lezione questi cambi di variabile... ora, voglio dire, stavano barando solo per arrivare ai loro scopi?

Anche riguardando la questione, io sono sempre più convinto dello spezzare il dominio in pezzi in cui il cambio proposto sia invertibile e poi raccordare...
Solo che in questo modo io raccorderei una soluzione in [tex]A=(0,\frac{\pi}{2})[/tex] con una in [tex]B=(\frac{\pi}{2},\pi)[/tex],
ottenendo quindi una funzione [tex]f: (0,\pi) \to \mathbb{R}[/tex] che è soluzione della ODE in [tex]A[/tex] e in [tex]B[/tex], ma nel punto di divisione?
Vi viene in mente un modo semplice per dire che è soluzione anche in [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]?

Se riesco ad articolare qualcosa di convincente lo posto...