O piccolo nel resto del polinomio di taylor

[fra017]

intanto volevo premettere che vi ringrazio perche sono uno che chiede molto e apre molti topic su questo forum. vengo al mio dubbio, quando faccio lo sviluppo di taylor e devo aggiungere il resto il libro dice che c'è quello di peano che si calcola $o((x-x_0)^n)$ o se $x_0=0$ segue che: $o(x^n)$ ma dice anche che x esempio il resto di $sinx=o(x^(2n+1))$ ho letto anche di approssimazioni del resto..insomma potete fare un po di luce sui miei dubbi? vi ringrazio in anticipo

[fra017]

up

[gugo82]

Non si capisce nulla; cioè, qual è il dubbio?

Ad ogni modo, credo che ti basti riguardare gli sviluppi in serie delle funzioni elementari ed i teoremi sulla formula di Taylor.

[fra017]

provo a ripete la domanda, che differenza c'è tra questo resto $o(x-x_0)^n$ e questo $o(x)^(2n+1)$ per il seno?

[ViciousGoblin]

"fra01":provo a ripete la domanda, che differenza c'è tra questo resto $o(x-x_0)^n$ e questo $o(x)^(2n+1)$ per il seno?

Se non scrivi TUTTA la formula (con il corrispondente polinomi di Taylor) la tua domanda non ha molto senso

[fra017]

in che senso scusa? io scrivo il resto, se parlo ad esempio del punto $x_0=0$ con n=5 il resto del seno se $n=5$ è $o(x)^5$ oppure $o(x)^(2*5+1)$?

[Seneca1]

Rifletti sul fatto che nello sviluppo del seno i coefficienti delle potenze pari sono $0$. Compaiono solo potenze dispari...

Questo dovrebbe risolvere il tuo dubbio.

[fra017]

allora diciamo che la seconda quella con $5*2+1$ è solo una scrittura formale per dire che sono i coefficenti dispari??

[ViciousGoblin]

"fra01":in che senso scusa? io scrivo il resto, se parlo ad esempio del punto $x_0=0$ con n=5 il resto del seno se $n=5$ è $o(x)^5$ oppure $o(x)^(2*5+1)$?

Dalla formula generale avresti che per $n=5$ il resto è $o(x^5)$ . Dato però che il seno è dispari il polinomio di ordine 5 è lo stesso che il polinomio di ordine 6 (il termine con $x^6$ ha coefficiente nullo). Dunque in realtà per $n=5$ il resto è $o(x^6)$. Questo di solito viene espresso dalla formula
$\sin(x)=P_{2k+1}(x)+o(x^{2k+2})$ per $k=0,1,...$
che ti dà $n=5$ mettendo $k=2$.

[fra017]

tutto chiaro grazie 1000!!