O piccolo nei limiti
ciao a tutti. qualcuno può gentilmente chiarirmi un dubbio?
ho visto che durante lo svolgimento di alcuni limiti di funzione il libro sostituisce alcune scritture con altre con o picolo semplificando nettamente i conti (rifacendosi ai limiti notevoli):
ad esempio
$sinx=x(1+o(1))$ per x----> o
$cosx=1-1/2x^2(1+o(1))$ per x -------->0
$tgx=x(1+o(1))$ per x-->0
qualcuno può chiarirmi queste sostituzioni? davvero non le capisco
grazie per il supporto.
marco
ho visto che durante lo svolgimento di alcuni limiti di funzione il libro sostituisce alcune scritture con altre con o picolo semplificando nettamente i conti (rifacendosi ai limiti notevoli):
ad esempio
$sinx=x(1+o(1))$ per x----> o
$cosx=1-1/2x^2(1+o(1))$ per x -------->0
$tgx=x(1+o(1))$ per x-->0
qualcuno può chiarirmi queste sostituzioni? davvero non le capisco
grazie per il supporto.
marco
Risposte
anche il mio libro le riporta..ma nn è chiaro..quindi mi associo alla richiesta 
lim $o(x^n)/x^n=0$ per x-->0
quindi se n=0 esce o(1).
Osservare che $x^no(x^m)=o(x^(n+m))$
quindi se n=0 esce o(1).
Osservare che $x^no(x^m)=o(x^(n+m))$
lim $(o(x^n))/x^n)=0$ per x-->0
ancora non mi è chiaro.......
ad esempio guardate questo limite svolto
$\lim_{x \to \infty}(sin(4/x))/(sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2+1))$
NUMERATORE:
si noti che: $sin(4/x)=4/x(1+o(1))$ per x----->-infinito
DENOMINATORE:
$sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2+1)$ = $2/(sqrt(3+x^2)+sqrt(x^2+1))$
= $2/(sqrt(x^2)(sqrt(1+3/x^2)+sqrt(1+1/x^2))$
= $ 2/(|x|(sqrt(1+o(1))+sqrt(1+o(1))))$
e fi qui tutto ok!
poi non capisco il passaggio successivo:
$ (1+o(1))/-x$ per x-----> -infinito
quindi: $\lim_{x \to \infty}(sin(4/x))/(sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2+1))$ = $\lim_{x \to \infty}4/x(1+o(1))*(-x/(1+o(1)))$ = -4
qualcuno sa delucidarmi questi ultimi passaggi?
come mai la seconda frazione il due è diventato un o piccolo?
grazie
ad esempio guardate questo limite svolto
$\lim_{x \to \infty}(sin(4/x))/(sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2+1))$
NUMERATORE:
si noti che: $sin(4/x)=4/x(1+o(1))$ per x----->-infinito
DENOMINATORE:
$sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2+1)$ = $2/(sqrt(3+x^2)+sqrt(x^2+1))$
= $2/(sqrt(x^2)(sqrt(1+3/x^2)+sqrt(1+1/x^2))$
= $ 2/(|x|(sqrt(1+o(1))+sqrt(1+o(1))))$
e fi qui tutto ok!
poi non capisco il passaggio successivo:
$ (1+o(1))/-x$ per x-----> -infinito
quindi: $\lim_{x \to \infty}(sin(4/x))/(sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2+1))$ = $\lim_{x \to \infty}4/x(1+o(1))*(-x/(1+o(1)))$ = -4
qualcuno sa delucidarmi questi ultimi passaggi?
come mai la seconda frazione il due è diventato un o piccolo?
grazie
Credo tu abbia un po' di confusione su questo simbolo di Landau:
Siano $f(x)$ e $g(x)$ definite in un intorno $U(x_0)$, allora si dice che $f(x)$ è un o-piccolo di $g(x)$ per $x->x_0$ e si scrive $f(x)=o(g(x))$ per $x->x_0$se si verifica quanto segue:
$lim_(x->x_0)(f(x))/(g(x))=0$
dunque se tu devi dimostrare che:
$sin(x)=x + o(x)$ per $x->0$ significa far vedere che $(sin(x)-x)/x->0$ per $x->0$
Comunque ti rimando a questo link per approfondire le proprietà e l'aritmetizzazione del simbolo di o-piccolo:
http://www3.matapp.unimib.it/corsi-2008 ... au.v.f.pdf
Nell'ultimo post che hai scritto hai che:
$ 2/(|x|(sqrt(1+o(1))+sqrt(1+o(1))))=2/(|x|*(2+o(1)))=2/(2*|x| +o(x))=2/(2*|x| +2o(x))=2/(2*(|x| +o(x)))=1/(|x|+o(x))~-1/x$ per $x->-oo$
Siano $f(x)$ e $g(x)$ definite in un intorno $U(x_0)$, allora si dice che $f(x)$ è un o-piccolo di $g(x)$ per $x->x_0$ e si scrive $f(x)=o(g(x))$ per $x->x_0$se si verifica quanto segue:
$lim_(x->x_0)(f(x))/(g(x))=0$
dunque se tu devi dimostrare che:
$sin(x)=x + o(x)$ per $x->0$ significa far vedere che $(sin(x)-x)/x->0$ per $x->0$
Comunque ti rimando a questo link per approfondire le proprietà e l'aritmetizzazione del simbolo di o-piccolo:
http://www3.matapp.unimib.it/corsi-2008 ... au.v.f.pdf
Nell'ultimo post che hai scritto hai che:
$ 2/(|x|(sqrt(1+o(1))+sqrt(1+o(1))))=2/(|x|*(2+o(1)))=2/(2*|x| +o(x))=2/(2*|x| +2o(x))=2/(2*(|x| +o(x)))=1/(|x|+o(x))~-1/x$ per $x->-oo$
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