O-piccolo e primitiva

[LoreT314]

Ciao a tutti,
se so che $f=o(x^n)$ posso concludere che la sua primitiva $F=o(x^{n+1})$?

[Mephlip]

Sì. Hai idee su come dimostrarlo?

[LoreT314]

Più che altro non riesco a capirne i limiti di validità, vale per ogni $n$ intero? Cioè tipo anche $o(1)$ diventa $o(x)$ o $o(1/x)$ diventa $o(1)$?

[Mephlip]

I limiti di validità li deduci dalla dimostrazione e dai controesempi! Prova a dimostrarlo e vedi se escono fuori casi in cui la dimostrazione non funziona, vedi se trovi controesempi in cui è falso. Dovresti specificare comunque che $n \in \mathbb{Z}$ (convenzionalmente $n$ è naturale, ma non è scritto sulla pietra) e a cosa tende $x$ (suppongo $0$).

[LoreT314]

$x\rightarrow +\infty$ ma non penso influenzi molto il risultato. Ci ho pensato un po' e farei così. Supponiamo $f=o(x^n)$. Sappiamo allora che per ogni $\epsilon$ e per $x$ sufficientemente grande $|f(x)/x^n|<=\epsilon$. Ma allora $|F|<=\int |f|<=\int \epsilon x^n=\epsilon \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Quindi $F=o(x^{n+1})$. Sta cosa si rompe sicuramente se $n=-1$, mentre mi pare funzionante per tutte le altre $n$ compresa $n=0$. Se $n=-1$ l'integrale lo posso comunque fare ma trovo un logaritmo. Quindi posso concludere che $F=o(\log x)$.

[LoreT314]

Mi sarebbe comodo concludere che $o(1/x)$ integrato diventa $O(1)$. Chiaramente la dimostrazione sopra non va bene perchè $o(logx)$ non è necessariamente limitata (ad esempio $log log x$). Magari non è nemmeno vero.

[Mephlip]

No, non va bene. Hai detto che la stima vale per $x$ sufficientemente grandi, ma poi procedi a stimare un integrale indefinito che non ha un intervallo di integrazione e quindi non stai applicando correttamente quella stima; ricorda che $F_a(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t$ per un qualche $a \in \mathbb{R}$ fissato. Per dire, se (dall'ipotesi "$f$ è $\text{o}(x^n)$") hai che $M_{\epsilon}>0$ è il valore per cui per ogni $x>M_{\epsilon}$ risulta $|\frac{f(x)}{x^{n}}|<\epsilon$, per un intervallo di integrazione del tipo $[a,x]$ con $M_\epsilon
Prova a pensare in maniera più "calcolosa". Detta $F_a$ la funzione integrale di $f$ di piede $a$, devi dimostrare che
$$\lim_{x \to \infty} \frac{F_a(x)}{x^{n+1}}=0$$
Procederei con De L'Hôpital, almeno per $f$ continue (ciò ti assicura, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, la derivabilità di $F_a$ in $(a,x)$); così facendo, tale limite è $0$ per ogni $n>0$.

Se $n=-1$ il risultato mi sembra falso. Ad esempio, la funzione $e^{-x}$ è $\text{o}\left(\frac{1}{x}\right)$ per $x \to \infty$ perché, essendo $\frac{1}{x}$ non nulla in un intorno di $\infty$, possiamo dividere per $1/x$ e quindi calcolare:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{-x}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0$$
Tuttavia:
$$\int_a^x e^{-t}\text{d}t=-e^{-x}+e^{-a}$$
Che non è $\text{o}(1)$ per alcun $a \in \mathbb{R}$, in quanto tende ad $e^{-a}$ per $x \to \infty$ ed $e^{-a}$ è non nullo per ogni $a \in \mathbb{R}$. Però, effettivamente, $e^{-a}$ è limitata per ogni $a \in \mathbb{R}$; non ho indagato ulteriormente le relazioni con $\text{O}$.