O-piccolo e O-grande

[Sciarra1]

salve a tutti, ho trovato problemi nel capire lo svolgimento di questo esercizio:
calcolare il limite di: l$ lim_(x-->0) ((cos^2(x)+cos(x)+1)(cosx-1)((3x-x^3-3x)/(3(x^2+3))-x^(x^4)+1))/(coshx(sen^3x-x^3)) $

ora il mio prof lo svolge così:
poichè lim_x->0 (cosx^2+cosx+1)/(coshx)=3
allora l' espressione può essere riscritta, portando la costante per cui deve essere moltiplicato il tutto al di fuori del limite, poi calcola (cos(x)-1) sviluppandolo con il polinomio di MacLaurin e dice:
cos(x) (per x-->0) = $1-(x^2/2)+O(x^4)$

mentre
$ ((-x^3)/(3(x^2+3)))=-(x^3/(9))(1+(x^2)/3)^-1=-x^3/9(1-(x^2/3)+O(x^4)) $

e:
$ x^(x^4)=e^(x^4logx)= (per (x->0)= 1+x^4logx+O(x^8log^2x)) $

ora quello che mi chiedo è 1) perchè in quegli sviluppi ,il mio professore, ha concluso con un O(x^4)?
2) per quale proprietà del logaritmo nello sviluppo di e^x=1+x+x^2/2... si è potuto portare l' esponente di e al posto di x?

Grazie in anticipo , spero di essere stato abbastanza chiaro.

[Quinzio]

1) Ha fatto una supposizione, che va verificata in seguito. Ha supposto che è sufficiente fermarsi al secondo grado $x^2$ perché svolgendo i calcoli, quel $x^2$ non viene cancellato, eliso, da altri termini. Queste cose si imparano con un minimo di esperienza e facendo tanti esercizi, come sicuramente farai tu...
2) Perché $(a^b)^c = a^(bc)$ e siccome $x=e^(\logx)$ abbiamo

$(e^logx)^(x^4) = e^(x^4 \log x)$.

Nota bene: $a^(b^c) != (a^b)^c$

Spero che sia altrettanto chiaro.

[Sciarra1]

grazie, chiarissimo..