O-piccolo e determinare ordine e parte principale di una funzione
Buongiorno,
avrei un dubbio sugli esercizi che richiedono di determinare l'ordine di infinitesimo e la parte principale di una data funzione per una x che tende a un certo valore.
Per esempio:
Mi devo ovviamente ricondurre agli sviluppi notevoli, come la radice quadrata di 1+t, il coseno di x e il seno di x.
Il mio dubbio è: come faccio a capire "dove mi devo fermare"?
Lo sviluppo del coseno, ad esempio, è:
$1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + o(x^6)$
Cosa mi dovrebbe far capire, nella funzione iniziale, di dovermi fermare al sesto ordine, piuttosto che al quarto, piuttosto che al secondo? Idem per il seno e per $sqrt(1+t)$
Il risultato cambia a seconda di dove io mi fermi, e dunque mi chiedo anche se sia solo "più comodo" fermarsi ad un certo ordine, oppure se sia addirittura sbagliato scegliere un ordine diverso.
Grazie!
avrei un dubbio sugli esercizi che richiedono di determinare l'ordine di infinitesimo e la parte principale di una data funzione per una x che tende a un certo valore.
Per esempio:
Mi devo ovviamente ricondurre agli sviluppi notevoli, come la radice quadrata di 1+t, il coseno di x e il seno di x.
Il mio dubbio è: come faccio a capire "dove mi devo fermare"?
Lo sviluppo del coseno, ad esempio, è:
$1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + o(x^6)$
Cosa mi dovrebbe far capire, nella funzione iniziale, di dovermi fermare al sesto ordine, piuttosto che al quarto, piuttosto che al secondo? Idem per il seno e per $sqrt(1+t)$
Il risultato cambia a seconda di dove io mi fermi, e dunque mi chiedo anche se sia solo "più comodo" fermarsi ad un certo ordine, oppure se sia addirittura sbagliato scegliere un ordine diverso.
Grazie!
Risposte
Penso che devi sviluppare intanto in serie i due termini $sqrt (1-x^2) $, ed $cos (sinx) $, dopodiché sostituendo alcuni termini si elidono, il primo termine non nullo rappresenta la parte principale.
Ti ringrazio per la risposta francicko, ma provo a riformulare la mia domanda: quando sostituisco sin x con il suo sviluppo in serie (ovvero: $x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + ... $ ecc.) dove mi devo fermare? Insomma,
perché dovrei scegliere $x + o(x)$ piuttosto che $x - x^3/6 + o(x^3)$ piuttosto che $x - x^3/6 + x^5/120 + o(x^5)$ piuttosto che $x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + o(x^7)$? Sono tutti possibili sviluppi del seno. Come decido quale usare?
perché dovrei scegliere $x + o(x)$ piuttosto che $x - x^3/6 + o(x^3)$ piuttosto che $x - x^3/6 + x^5/120 + o(x^5)$ piuttosto che $x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + o(x^7)$? Sono tutti possibili sviluppi del seno. Come decido quale usare?
Se ti arresti allo sviluppo di ordine $2$, noti che i termini in $x^2$ si elidono, quindi bisogna uno sviluppo più esteso, proviamo con quello che coinvolge almeno i termini di grado $4$:
$sinx=x-x^3/6+o(x^3) $
$cost=1-t^2/2+t^4/(24)+o (x^4) $
$sqrt (1-x^2) =1-x^2/2-x^4/8+o (x^4 )$
Sostituendo $t=x-x^3/6+o (x^3) $ si ha:
$cos (sinx)=1-(x-x^3/6+o(x^3))^2/2+(x-x^3/6)^4/(24)+o (x^4) $
sviluppando e calcolando avrai ancora
$cos (sinx)=1-x^2/2+x^4/6+x^4/(24) +o(x^4)$
Infine sostituendo ancora avrai :
$f (x)=1-x^2/2-x^4/8-1+x^2/2-x^4/6-x^4/(24)+o (x^4) $
facendo i calcoli ottieni:
$f (x)=-8x^4/(24)+o (x^4 )=-x^4/3+o (x^4) $
quindi il primo termine non nullo , è $-x^4/3$ , chiamasi parte principale , il suo ordine è $4$.
$sinx=x-x^3/6+o(x^3) $
$cost=1-t^2/2+t^4/(24)+o (x^4) $
$sqrt (1-x^2) =1-x^2/2-x^4/8+o (x^4 )$
Sostituendo $t=x-x^3/6+o (x^3) $ si ha:
$cos (sinx)=1-(x-x^3/6+o(x^3))^2/2+(x-x^3/6)^4/(24)+o (x^4) $
sviluppando e calcolando avrai ancora
$cos (sinx)=1-x^2/2+x^4/6+x^4/(24) +o(x^4)$
Infine sostituendo ancora avrai :
$f (x)=1-x^2/2-x^4/8-1+x^2/2-x^4/6-x^4/(24)+o (x^4) $
facendo i calcoli ottieni:
$f (x)=-8x^4/(24)+o (x^4 )=-x^4/3+o (x^4) $
quindi il primo termine non nullo , è $-x^4/3$ , chiamasi parte principale , il suo ordine è $4$.
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