O piccolo come notazione di limite

[gianni.erario]

Salve a tutti non riesco proprio a capire ciò che intende dire il mio prof con questo, l argomento è "o piccolo" che è indicato con "o":

"Il simbolo "o" permette di fare a meno della notazione consueta di limite in quanto
$ lim_(x -> xo) =L <=> f(x)=L+$ "o"$ (1)$ per $x->xo$"

non riesco a capire quale particolare "capacità" di "o" faccia si che il limite si possa scrivere anche nel secondo modo. Quel che penso e che la presenza o meno di "o" non influenza affatto la possibilità di rappresentare un limite così com'è rappresentato nel secondo modo.

Illuminatemi...
grazie in anticipo

[Mrhaha]

Si dice che $f(n)$ è un o-piccolo di $g(n)$ se $ lim_(n -> oo ) f(n)/g(n) =0$.
Aggiunge quel "o-piccolo" perchè non puoi dire che sono uguali! Vale l'uguaglianza solo se quella x è prorpio $x_0$. Perciò aggiungi una quantità che è piccola, la più piccola che puoi scegliere è l'o-piccolo di una costante!
Chiaro?

[dissonance]

Gianni, per favore modifica il titolo scrivendo qualcosa che chiarisca il vero oggetto della discussione. Grazie.

[dissonance]

"Mrhaha":Si dice che $f(n)$ è un o-piccolo di $g(n)$ se $ lim_(n -> oo ) f(n)/g(n) =0$.
Aggiunge quel "o-piccolo" perchè non puoi dire che sono uguali! Vale l'uguaglianza solo se quella x è prorpio $x_0$.

Ok a livello intuitivo, ma può essere detto meglio.

Perciò aggiungi una quantità che è piccola, la più piccola che puoi scegliere è l'o-piccolo di una costante!

Questo invece non va bene. "O-piccolo di una costante" è un modo di dire per indicare qualcosa che tende a zero ma senza dare nessuna informazione sull'ordine di grandezza di questo qualcosa. Quindi dire che "l'o-piccolo di una costante è la quantità più piccola che si possa scegliere" è sbagliato anche a livello intuitivo, quel "più piccola" non ci sta proprio.

In ogni caso sconsiglio di ragionare così. Adesso che stiamo studiando cerchiamo di non perdere di vista le definizioni formali. Successivamente nella nostra testa potremo ragionare in modo brutale a volontà, ma sempre sapendo bene come fare, volendo, a scrivere un ragionamento rigoroso. Questo ci salverà da errori come il presente.

[gugo82]

"Mrhaha":Si dice che $f(n)$ è un o-piccolo di $g(n)$ se $ lim_(n -> oo ) f(n)/g(n) =0$.

Non è vero.
Vedi qui.

[Mrhaha]

Oddio!

Chiedo venia.
E ringrazio Gugo per la definizione che mi ha suggerito, anche perchè non ho mai visto quel concetto da quel punto di vista!

[gianni.erario]

ragazzi per favore dovrei dare un esame a breve...

[dissonance]

"gianni.erario":Salve a tutti non riesco proprio a capire ciò che intende dire il mio prof con questo, l argomento è "o piccolo" che è indicato con "o":

"Il simbolo "o" permette di fare a meno della notazione consueta di limite in quanto
$ lim_(x -> xo) =L <=> f(x)=L+$ "o"$ (1)$ per $x->xo$"

non riesco a capire quale particolare "capacità" di "o" faccia si che il limite si possa scrivere anche nel secondo modo.

E' solo questione di riscriversi le definizioni. $lim_{x -> x_0} f(x)=L$ è la stessa cosa che dire $lim_{x -> x_0} (f(x)-L)=0$. Ma questo, per definizione, significa proprio dire che $f(x)-L=o(1)$ per $x -> x_0$. Si scrive allora $f(x)=L+o(1)$. Fine.

[gianni.erario]

ok grazie mille