O piccolo
Ciao tutti,
La definizione di $o $piccolo dice : dati$f(x) $e$g(x)$ funzioni si dice $f(x)= o (g(x))$ se $f(x)$ infinitesimo di ordine superiore a $g(x)$.
Quello che mi chiedo è però osservando la formula di Taylor con resto di Peano: perchè specifichiamo che $lim _(x -> x_0) (o(x-x_0)^k )/ (x-x_0)^k=0$? per la definzione data di $o$ piccolo questo limite non è ovvio?perchè allora lo si precisa sempre nella formula?
La definizione di $o $piccolo dice : dati$f(x) $e$g(x)$ funzioni si dice $f(x)= o (g(x))$ se $f(x)$ infinitesimo di ordine superiore a $g(x)$.
Quello che mi chiedo è però osservando la formula di Taylor con resto di Peano: perchè specifichiamo che $lim _(x -> x_0) (o(x-x_0)^k )/ (x-x_0)^k=0$? per la definzione data di $o$ piccolo questo limite non è ovvio?perchè allora lo si precisa sempre nella formula?
Risposte
Il limite sarà anche ovvio, ma il Teorema di Taylor serve per dimostrare che, in generale, il resto $n$-imo è un o-piccolo di [tex]$(x-x_0)^n$[/tex]. Certo se tu scrivi da subito il resto in forma di Peano sembra ovvio... ma chi ti assicura che tu possa fare questa cosa? ovvero: chi ti dice che il resto in forma di Peano è "davvero" un possibile modo di scrivere il resto $n$-imo dello sviluppo di Taylor?
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