O-piccolo
Salve. Premetto che ho cercato nel forum ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio.
Ho qualche problemino con il simbolo di o-piccolo e chiedo se qualcuno può aiutarmi a risolvere i miei dubbi.
Come ben si sa, nel risolvere un limite non sempre è possibile applicare gli asintotici (vedi caso in cui le sostituzioni portano ad un elisione). In tal caso può essere utile operare con gli o-piccolo.
Il mio dubbio è: come ci si comporta in presenza di o-piccolo? Perché, ad es., $ lim_(x -> 0) (o(x)) / x = 0 $ ?
Grazie
Ho qualche problemino con il simbolo di o-piccolo e chiedo se qualcuno può aiutarmi a risolvere i miei dubbi.
Come ben si sa, nel risolvere un limite non sempre è possibile applicare gli asintotici (vedi caso in cui le sostituzioni portano ad un elisione). In tal caso può essere utile operare con gli o-piccolo.
Il mio dubbio è: come ci si comporta in presenza di o-piccolo? Perché, ad es., $ lim_(x -> 0) (o(x)) / x = 0 $ ?
Grazie
Risposte
"20021991":
Salve. Premetto che ho cercato nel forum ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio.
Ho qualche problemino con il simbolo di o-piccolo e chiedo se qualcuno può aiutarmi a risolvere i miei dubbi.
Come ben si sa, nel risolvere un limite non sempre è possibile applicare gli asintotici (vedi caso in cui le sostituzioni portano ad un elisione). In tal caso può essere utile operare con gli o-piccolo.
Il mio dubbio è: come ci si comporta in presenza di o-piccolo? Perché, ad es., $ lim_(x -> 0) (o(x)) / x = 0 $ ?
Grazie
Hai cercato MALISSIMO, permettimi di dirtelo.
$ lim_(x -> 0) (o(x)) / x = 0 $
$o(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore a $x$.
Quando, per $x -> x_0$, il numeratore e il denominatore sono infinitesimi e il numeratore è un infinitesimo di ordine superiore al denominatore...
...il limite del rapporto è uguale a zero.
Ti ringrazio per la risposta e mi scuso per la cattiva ricerca.
Utilizzando il tuo suggerimento, giungo al seguente ragionamento:
Da $ lim_(x -> 0) (o(x))/x $ deduco che esiste una funzione f(x) tale che $ lim_(x -> 0) f(x)/x = 0 $, ne segue che f(x) è di ordine superiore a x.
Poiché, dunque, f(x)= o(x), sostituendo o(x) a f(x) nel limite del rapporto si ha che per x --> 0, o(x)/x --> 0
E' corretto?
Ragionando diversamente e utilizzando quella che nel topic segnalato è riportata come proprietà 78.9, riscrivo il limite:
$ lim_(x -> 0) 1/x(o(x)) = lim_(x -> 0) (x^-1)(o(x)) = lim_(x -> 0) o(1) $
o(1) è il generico infinitesimo.
Posso affermare senza obiezioni che $ lim_(x -> 0) o(1) = 0 ? $
Ti ringrazio per la risposta e mi scuso per la cattiva ricerca.
Utilizzando il tuo suggerimento, giungo al seguente ragionamento:
Da $ lim_(x -> 0) (o(x))/x $ deduco che esiste una funzione f(x) tale che $ lim_(x -> 0) f(x)/x = 0 $, ne segue che f(x) è di ordine superiore a x.
Poiché, dunque, f(x)= o(x), sostituendo o(x) a f(x) nel limite del rapporto si ha che per x --> 0, o(x)/x --> 0
E' corretto?
Ragionando diversamente e utilizzando quella che nel topic segnalato è riportata come proprietà 78.9, riscrivo il limite:
$ lim_(x -> 0) 1/x(o(x)) = lim_(x -> 0) (x^-1)(o(x)) = lim_(x -> 0) o(1) $
o(1) è il generico infinitesimo.
Posso affermare senza obiezioni che $ lim_(x -> 0) o(1) = 0 ? $
"20021991":
o(1) è il generico infinitesimo.
Posso affermare senza obiezioni che $ lim_(x -> 0) o(1) = 0 ? $
Senza obiezioni. Come hai giustamente notato: "$o(1)$ è il generico infinitesimo" e per la definizione di infinitesimo quel limite è proprio $0$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo