O piccoli...facile

elijsa1
ciao in una dimostrazione ho questo passaggio: due polinomi uno di coefficienti $a(i)$ e di grado n e l'altro di coefficienti $b(i)$ di grado m. sono arrivata a tropvare che il lim per x che tende a piu infinito si riduce a $(a(0) x^n + o(x^n,+infty ))/ (b(0) x^m + o(x^m, + infty))$. ora negli appunti ho scritto che gli o piccoli si possono tralasciare nel calcolo del limite. ma non capisco perchè. forse è banale ma mi sa che se non capisco le cose banali non capiro mai le difficili. grazie mille

Risposte
fabioamd87
ma si tratta di una successione? come hai fatto a trovarti gli o piccoli con degli sviluppi?

elijsa1
no no era un esercizio con dei polinomi generici. praticamente era per poter dire che per calcolare il limite per x--> all'infinito dei polinomi basta guardare il termine di grado massimo. non so se era la tua domanda.

alberto.chiarini
spero di essere chiaro (e di non dire fesserie :roll:)

Nel caso generale. Sia $D$ uno spazio metrico $c\in D$ punto di accumulazione per $D$; Siano $f,g,f_1,g_1$ funzioni di $D$ tolto ${c}$ in $\RR$.
Siano $f_1\in o_c(f)$ e $g_1\in o_c(g)$; infine $g(x)\ne 0$ in un intorno di $c$ escluso al più $c$.

(se esiste) $lim_(x->c)(f(x)+f_1(x))/(g(x)+g_1(x))=lim_(x->c)f(x)/g(x)$

Quindi vale la regola anche nel tuo caso particolare.

La dimostrazione. Per ipotesi $f_1\in o_c(f)$ e $g_1\in o_c(g)$ ma questo significa che esistono due funzioni $\sigma_1,\sigma_2$ infinitesime per $x->c$ tali che $\sigma_1(x)=f_1(x)f(x)$ e $\sigma_2=g_1(x)g(x)$ in un opportuno intorno di $c$.

Ma allora $lim_(x->c)(f(x)+f_1(x))/(g(x)+g_1(x))=lim_(x->c)(f(x)+\sigma_1(x)f(x))/(g(x)+\sigma_2(x)g(x))=lim_(x->c)(f(x)(1+\sigma_1(x)))/(g(x)(1+\sigma_2(x)))$
ed essendo $\sigma_1$ e $\sigma_2$ infinitesime hai la tesi.
Nel caso dei polinomi sarai daccordo che se abbiamo $p(x)=a_0x^n+a_1x^(n-1)+\ldots+a_n$ allora $(a_1x^(n-1)\ldots a_n)\in o_(+oo)(x^n)$.

elijsa1
è vero ti ringrazio molto.

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