O piccoli e Taylor

[ocram3]

salve
sto studiando il metodo di taylor per il calcolo dei limiti e vorrei capire una cosa...
se mi ritrovo in una situazione del tipo... (esempio puramente casuale e inventato ora)

(#e^x - 1)^2

e se per forza di cose dovessi sviluppare l'#e^x fino ad un ordine maggiore del seocondo, per esempio..:

1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + o(x^3)

mi ritroverei in una situazione del tipo...

[x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + o(x^3)]^2 come mi dovrei comportare nei confronti dell'o piccolo?
cioe' devo portarmelo dietro come se fosse un termine come un altro oppure posso escluderlo subito dai calcoli semplificandomi le cose?



altra domanda... (scusate ma con taylor ci sto litigando da stamattina )

mi e' capitato in un paio di limiti (sempre da risolvere con taylor) di trovare delle situazioni in cui se sviluppavo alcuni dei termini fino ad un grado (chiamiamolo che so...k) veniva un risultato, mentre se li sviluppavo un po' di piu' ne veniva un'altro.
e' una cosa possibile oppure sono io che sbagliavo ripetutamente a fare i calcoli?

grazie

ocram



Modificato da - ocram il 06/03/2004 16:40:09

[WonderP1]

Sbagli a fare i calcoli, e di solito perché sviluppi troppo poco i termini. I trmini con l'o piccolo te li devi portare appresso fino alla fine quando applichi il pirincipio di sostituzione degli infinitesimi (se non ricordo male si chiama cos'). Attento non serve portarseli dietro tutti, li puoi infatti inglobare. Mi spiego. Se ad esempio hai
x + x² + o(x^4) + o (x^3)
un opiccolo di x^4 è anche opiccolo di x^3 quindi puoi riscrivere
x + x² + o (x^3)

Inizialmente ti conviene sempre sviluppare per qualche termine in più, on un po' di esperienza vedrai da subito quanto sviluppare.
esempio senx =x - x^3/3! + x^5/5! +o(x^7)
se hai x-senx+.... allora devi sviluppare x almeno fino al secondo termine
se hai x-senx+x^3/6+.... allora devi sviluppare x almeno fino al terzo termine.

Non ti preoccupare dopo un po' ci fai l'occhio.






WonderP.

[Pachito1]

citazione:

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come mi dovrei comportare nei confronti dell'o piccolo?

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In generale quando si utilizza Taylor per calcolare limiti ci si riferisce alla possibilità di capire come una determinata funzione vada a 0 (o a qualunque altro valore finito) rispetto ad una data potenza di x. Ti ricordo che lo sviluppo della funzione deve essere fatto nel punto in cui deve essere calcolato il limite.
In generale se si fanno limiti per x->0 quello che conta è il grado della potenza più piccola tutto il resto è o(..)


Es. 1
lim (e^x - 1)^2/x^2
x->0

Questa è una classica applicazione di Taylor per cui si ha lim=1
Sviluppando e^x ci troviamo nella forma
[x + (x^2)/2 + o(x^3)]^2 / x^2
ma possiamo anche pensare al numeratore come x^2 + o(x^3)
in particolare o(x^3) ti deriva dal prodotto di x*x^2/2.
Quello che ti deve interessare è comunque l'ordine più basso delle potenze in x e di tenere il giusto numero di coefficienti che contribuiscano a questo

citazione:

---

fino ad un grado veniva un risultato, mentre se li sviluppavo un po' di piu' ne veniva un'altro.

---

Es. 2
lim [1-x^2-(cos(x))^2] / x^4
x->0
se io approssimo cos(x)=1-x^2/2+o(x^4)
(cos(x))^2= 1-x^2+x^4/4+ o(x^4)
come vedi facendo la differenza al numeratore ottengo -x^4/(4x^4)=-1/4
MA
ho tralasciato ordini di x^4 quindi c'e qualche altro contributo in x^4 che ho traascurato.
se io approssimo cos(x)=1-x^2/2+x^4/4+o(x^6))
(cos(x))^2= 1-x^2+x^4/3+ o(x^6)
cosicchè il limite diventa -1/3.

Ciao

Modificato da - pachito il 06/03/2004 17:37:59

[ocram3]

innanzitutto vi ringrazio per l'attenzione.
pero' non ho ancora capito qualche cosa..
mi sto studiando altri sviluppi di funzioni "famose" tipo (sin(x))^2
e (cos(x))^2. per la prima tutto bene. insomma basta fare i calcoli e la cosa viene da se... per la seconda invece c'e' un particolare che non capisco:

(cos(x))^2 infatti puo' essere consioderato in due modi

(1) 1-(sin(x))^2

(2) (cos(x))(cos(x))

la cosa che non capisco e' il fatto che se sviluppo il primo viene

(1) 1 - x^2 + x^4/3 + o(x^5)

(non ho fatto altro che "incollare" lo sviluppo di (sin(x))^2 )

mentre la seconda mi viene (facendo quindi i calcoli a mano)

(2) 1 - x^2 + [[ x^4/4 ]] + o(x^5)

(ho messo tra parentesi il termine che diverso). sono sicuro di avere fatto i calcoli bene...voi che ne pensate?

grazie ancora

ocram



Modificato da - ocram il 07/03/2004 18:47:40

[ocram3]

per pachito:

nella tua risposta hai detto

"[...] MA ho tralasciato ordini di x^4 quindi c'e qualche altro contributo in x^4 che ho traascurato."

quello che non capisco e' come hai fatto a capire che c'era bisogno di sviluppare ancora di un passo il cos(x) per arrivare al risultato esatto. cioe' finche' mi ritrovo con nuove forme indeterminate capisco di aver sbagliato e di non aver sviluppato abbastanza qualche termine, ma quando arrivo ad un risultato pieno come puo' essere -1/4 cosa mi dovrebbe far nascere il sospetto che non sono andato abbastanza avanti nello sviluppo?
forse dal fatto che nella formula:

(cos(x))^2= 1-x^2+x^4/4+ o(x^4) il resto di peano era allo stesso grado del grado piu' alto?

ma cmq cos(x) non e' 1 - (x^2)/2 + o(x^3) invece che 1 - (x^2)/2 + o(x^4)?



Modificato da - ocram il 07/03/2004 19:23:45