O-piccoli e funzioni integrali
Sugli appunti di un collega trovo scritto questo:
DOMANDA: è vero che $\int_{x_0}^x o((t-x_0)^n)=o((x-x_0)^{n+1})$? RISPOSTA: in generale no. E' vero se l'o-piccolo è il resto di uno sviluppo di Taylor.
Ho provato a giustificare questa risposta. Se $f:A\to RR$ è derivavibe $n$ volte in $x_0\in A$ (quindi $n-1$ volte intorno a $x_0$), allora possiamo scrivere il suo polinomio di Taylor centrato in $x_0$:
\[f(x)=T_{n,x_0}(x)+R(x)=\sum^n_{k=0}\dfrac{(x-x_0)^k}{k!}f(x_0)^{(k)}+ R(x)\]
dove con $R=o((x-x_0)^n)$ denoto il resto. Dalla precedente si deduce, essendo $f$ derivabile per ipotesi e $T_{n,x_0}$ un polinomio (quindi $\mathcal{C}^\infty$), che $R$ è una funzione derivabile. Si ha quindi
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{\int^x_{x_0} R(t)\ \text{dt}}{(x-x_0)^{n+1}}\stackrel{\text{De l'Hopital}}{=}\lim_{x\to x_0}\dfrac{R(x)}{(n+1)(x-x_0)^n}=0\]
Segue che
\[\int^x_{x_0} R(t)\ \text{dt}=o((x-x_0)^{n+1})\]
Che ne dite?
DOMANDA: è vero che $\int_{x_0}^x o((t-x_0)^n)=o((x-x_0)^{n+1})$? RISPOSTA: in generale no. E' vero se l'o-piccolo è il resto di uno sviluppo di Taylor.
Ho provato a giustificare questa risposta. Se $f:A\to RR$ è derivavibe $n$ volte in $x_0\in A$ (quindi $n-1$ volte intorno a $x_0$), allora possiamo scrivere il suo polinomio di Taylor centrato in $x_0$:
\[f(x)=T_{n,x_0}(x)+R(x)=\sum^n_{k=0}\dfrac{(x-x_0)^k}{k!}f(x_0)^{(k)}+ R(x)\]
dove con $R=o((x-x_0)^n)$ denoto il resto. Dalla precedente si deduce, essendo $f$ derivabile per ipotesi e $T_{n,x_0}$ un polinomio (quindi $\mathcal{C}^\infty$), che $R$ è una funzione derivabile. Si ha quindi
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{\int^x_{x_0} R(t)\ \text{dt}}{(x-x_0)^{n+1}}\stackrel{\text{De l'Hopital}}{=}\lim_{x\to x_0}\dfrac{R(x)}{(n+1)(x-x_0)^n}=0\]
Segue che
\[\int^x_{x_0} R(t)\ \text{dt}=o((x-x_0)^{n+1})\]
Che ne dite?
Risposte
Ho qualche perplessità sulla domanda in sé.
Facciamo il caso semplice \(n=0\) e \(x_0 = 0\). Stiamo supponendo quindi di avere una funzione (misurabile) \(R\), definita in un intorno dell'origine (ma diciamo pure su tutto \(\mathbb{R}\)), tale che \(\lim_{x\to 0} R(x) = 0\).
Per definizione di limite abbiamo che, per ogni \(\epsilon > 0\), esiste \(\delta > 0\) tale che \(|R(x)| < \epsilon\) per ogni \(0 < |x| < \delta\). Da ciò segue che \(|\int_0^x R(s) ds | \leq \epsilon |x|\) per ogni \(|x| < \delta\) e, in particolare,
\[
\limsup_{x\to 0} \left|\frac{\int_0^x R(s)\, ds}{x}\right| < \epsilon.
\]
D'arbitrarietà di \(\epsilon\) si conclude dunque che \(\lim_{x\to 0} \int_0^x R(s)\, ds / x = 0\).
Ovviamente nulla cambia se si considera una funzione \(f(x) = o(x^n)\), in quanto può essere scritta come \(f(x) = x^n R(x)\) con \(R\) come sopra.
Facciamo il caso semplice \(n=0\) e \(x_0 = 0\). Stiamo supponendo quindi di avere una funzione (misurabile) \(R\), definita in un intorno dell'origine (ma diciamo pure su tutto \(\mathbb{R}\)), tale che \(\lim_{x\to 0} R(x) = 0\).
Per definizione di limite abbiamo che, per ogni \(\epsilon > 0\), esiste \(\delta > 0\) tale che \(|R(x)| < \epsilon\) per ogni \(0 < |x| < \delta\). Da ciò segue che \(|\int_0^x R(s) ds | \leq \epsilon |x|\) per ogni \(|x| < \delta\) e, in particolare,
\[
\limsup_{x\to 0} \left|\frac{\int_0^x R(s)\, ds}{x}\right| < \epsilon.
\]
D'arbitrarietà di \(\epsilon\) si conclude dunque che \(\lim_{x\to 0} \int_0^x R(s)\, ds / x = 0\).
Ovviamente nulla cambia se si considera una funzione \(f(x) = o(x^n)\), in quanto può essere scritta come \(f(x) = x^n R(x)\) con \(R\) come sopra.
Ciao Rigel, grazie per l'attenzione. Purtroppo riesco a seguirti fino a dove tiri fuori il $"limsup"$, che non so cosa sia fuori dal contesto delle successioni reali 
il resto del ragionamento è abbastanza chiaro.
La morale qual'è? Mi stai dicendo che la "formula" che ho riportato sopra vale qualunque sia $R$? O meglio, che posso fare a meno di assumere che $R$ sia derivabile (quindi anche di assumere che $R$ sia il resto di uno sviluppo di Taylor), ma è sufficiente che sia integrabile in ogni intervallo di estremi $x_0$ e $x$?
il resto del ragionamento è abbastanza chiaro.La morale qual'è? Mi stai dicendo che la "formula" che ho riportato sopra vale qualunque sia $R$? O meglio, che posso fare a meno di assumere che $R$ sia derivabile (quindi anche di assumere che $R$ sia il resto di uno sviluppo di Taylor), ma è sufficiente che sia integrabile in ogni intervallo di estremi $x_0$ e $x$?
Anche senza scomodare il \(\limsup\), hai che per ogni \(\epsilon > 0\) esiste \(\delta > 0\) tale che
\[
\left| \frac{\int_0^x R(s) ds}{x}\right| < \epsilon \qquad \forall 0 < |x| < \delta.
\]
Quindi, per definizione di limite, hai che
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x R(s) ds}{x} = 0.
\]
Dunque la formula riportata vale senza ulteriori ipotesi su \(R\) (tornando alla domanda iniziale, non mi è quindi chiaro perché non dovrebbe valere se la funzione non è il resto di uno sviluppo di Taylor, ma forse mi sfugge qualcosa).
\[
\left| \frac{\int_0^x R(s) ds}{x}\right| < \epsilon \qquad \forall 0 < |x| < \delta.
\]
Quindi, per definizione di limite, hai che
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x R(s) ds}{x} = 0.
\]
Dunque la formula riportata vale senza ulteriori ipotesi su \(R\) (tornando alla domanda iniziale, non mi è quindi chiaro perché non dovrebbe valere se la funzione non è il resto di uno sviluppo di Taylor, ma forse mi sfugge qualcosa).
Ecco ecco, ora ci siamo 
grazie. L'esercitatrice ha fatto l'esempio della funzione $f(x)=x^3 \sin(1/x^2)$: secondo lei in questo caso la formula non dovrebbe valere (non ho altro qui sul quaderno, non ci sono spiegazioni). Eppure questa funzione è integrabile ovunque, quindi...?
EDIT: ho cercato per bene su Acerbi - Buttazzo, Primo corso di Analisi Matematica. Il testo conferma quello che dici: è sufficiente l'integrabilità (in più osserva che se $R$ è continua la validità della formula può essere dimostrata nel modo in cui ho proceduto sopra).
grazie. L'esercitatrice ha fatto l'esempio della funzione $f(x)=x^3 \sin(1/x^2)$: secondo lei in questo caso la formula non dovrebbe valere (non ho altro qui sul quaderno, non ci sono spiegazioni). Eppure questa funzione è integrabile ovunque, quindi...? EDIT: ho cercato per bene su Acerbi - Buttazzo, Primo corso di Analisi Matematica. Il testo conferma quello che dici: è sufficiente l'integrabilità
(in più osserva che se $R$ è continua la validità della formula può essere dimostrata nel modo in cui ho proceduto sopra).
Riciclo questo topic, tanto siamo in tema.
Ho un esercizio in cui mi si chiede di calcolare il limite
\[\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\overbrace{\int^x_0 (e^{t^2}-1)\ \text{dt}}^{=:F(x)}}{x^\alpha}\]
al variare del parametro $\alpha\ge 0$.
Avrei proceduto calcolandomi il polinomio di Taylor di $F(x)$, o ancora meglio utilizzando De l'Hopital (che forse è la strada più veloce), ma in virtù della formula di cui abbiamo discusso sopra voglio provare a procedere così: si ha
\[e^{t^2}-1 = t^2+o(t^2)\]
da cui
\[F(x)=\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\]
Il limite diventa
\[\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^3/3+o(x^3)}{x^\alpha}\]
e quindi vale $1/3$ per $\alpha=3$, mentre per $0\le \alpha<3$ il limite è zero. Nel caso $\alpha>3$ ho
\[\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^3/3+o(x^3)}{x^\alpha}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^3/3(1+3o(x^3)/x^3)}{x^\alpha}=[+\infty\cdot 1]=+\infty\]
Dico bene?
Ho un esercizio in cui mi si chiede di calcolare il limite
\[\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\overbrace{\int^x_0 (e^{t^2}-1)\ \text{dt}}^{=:F(x)}}{x^\alpha}\]
al variare del parametro $\alpha\ge 0$.
Avrei proceduto calcolandomi il polinomio di Taylor di $F(x)$, o ancora meglio utilizzando De l'Hopital (che forse è la strada più veloce), ma in virtù della formula di cui abbiamo discusso sopra voglio provare a procedere così: si ha
\[e^{t^2}-1 = t^2+o(t^2)\]
da cui
\[F(x)=\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\]
Il limite diventa
\[\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^3/3+o(x^3)}{x^\alpha}\]
e quindi vale $1/3$ per $\alpha=3$, mentre per $0\le \alpha<3$ il limite è zero. Nel caso $\alpha>3$ ho
\[\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^3/3+o(x^3)}{x^\alpha}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^3/3(1+3o(x^3)/x^3)}{x^\alpha}=[+\infty\cdot 1]=+\infty\]
Dico bene?
si tutto ok, ma ti sei dimenticato per a<0
"Plepp":
calcolare il limite
\[ \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\overbrace{\int^x_0 (e^{t^2}-1)\ \text{dt}}^{=:F(x)}}{x^\alpha} \]
al variare del parametro $ \alpha\ge 0 $.
Per $\alpha<0$ non ci sarebbero grandi ragionamenti da fare
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo