O-piccoli

[brownbetty1]

Salve a tutti. Devo provare che:
$o(-5x^2 + xlog2 -3x +o(x))$ è $o(x)$. Vediamo se è giusto il ragionamento che faccio (per $x -> 0$):

$o(−5x^2+xlog2−3x+o(x))$ $= o(-5x^2) + o(xlog2) + o(-3x) + o(o(x)) = $ $= o(-5x^2) + o(xlog2) + o(-3x) + o(x)$
considero i primi 3 termini e li divido per $x$, in modo da effettuare il confronto con la funzione $x$, allora per ognuno si ha:
$(o(-5x^2))/x = (o(x^2))/x$ che divido e moltiplico per $x$ in modo da ottenere $(o(x^2))/x^2$$*x = 0 * x -> 0$ quindi per definizione $o(-5x^2) = o(x)$;
$(o(xlog2))/x = (o(x))/x -> 0$ e quindi $o(xlog2) = o(x)$;
stessa cosa per $o(-3x)$;
infine si ottengono 3 $o(x)$ + quello che c'era già, che si sommano, risultando proprio $o(x)$.

Grazie anticipatamente, attendo risposta

[brownbetty1]

Nessun parere ? Non so se il procedimento è corretto

[ciampax]

Sì è giusto. Ma sarebbe bastato dimostrare che $x^\alpha=o(x)$ per ogni $\alpha\ge 1$.

[brownbetty1]

In particolare la prima catena di uguaglianze è giusta allora.

Per il metodo veloce che mi hai consigliato, intendi dire che siccome il grado del numeratore in $x$ : $−5x^2+xlog2−3x$ è 2, maggiore di quello del denominatore $x$ che è 1, quindi il limite del rapporto fa 0 e da questo segue per definizione che il numeratore è $o(x)$ ? Però se svolgo tale limite il risultato è se non sbaglio $log2 - 3$ e non 0. E' come se $x^alpha=o(x)$ per ogni $α≥1$ valesse per $alpha > 1$ senza l'uguale.

[ciampax]

Sì, scusa, la condizione era per $\alpha>1$.