O piccoli

[Sk_Anonymous]

ho appena iniziato a studiare seriamente gli o piccoli e so che voi, amici miei, potete togliermi un dubbio:

il libro mi dimostra che siccome
$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2
cioè
$(1-cosx)/x^2=1/2+o(1) $ per $ x->0
allora posso scrivere la funzione coseno, per $x->0$ in questo modo:
$cosx=1-1/2x^2(1+o(1))$ e fino a qua ci siamo

posso io a questo punto dire che siccome
$(1-cosx)/x->0$ per $x->0
allora sempre per $x->0
$(1-cosx)/x=o(1) rArr 1-cosx=o(1) rArr cosx=1+o(1)
????
dov'è il trucco??

[Luca.Lussardi]

Non c'è nessun trucco; il fatto ingannevole è che il simbolo o piccolo non denota una funzione in particolare, ma una famiglia di funzioni; più precisamente $o(1)$ rappresenta una funzione arbitraria che se divisa per $1$ tende a $0$, quindi $o(1)$ rappresenta una funzione infinitesima. E in effetti $-1/2x^2(1+o(1))=o(1)$

[Sk_Anonymous]

benissimo, grazie luca!

[vl4dster]

in effetti la simbologia trae in inganno perche' invece di scrivere $f(x) = o(g(x))$ si dovrebbe scrivere $f(x) in o(g(x))$ dato che se $x->x_{0}$, $o(g(x)) = {f(x): AA c>0$ $ |f(x)| < c|g(x)|$ e x appartiene ad un intorno di $x_{0}$ $}$

[Luca.Lussardi]

Certo, è un abuso di notazione, come la simbologia dell'integrale indefinito.

[Sk_Anonymous]

scusate le mie perplessità:
sto calcolando
$lim_(x->+oo)(sin(4/x))/(sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2+1))
per $x->+oo$ il numeratore $sin(4/x)=4/x(1+o(1))$ e va bene
invece
$sqrt(3+x^2)-sqrt(x^2+1)=2/(sqrt(3+x^2)+sqrt(x^2+1))=2/(sqrt(x^2)(sqrt(1+3/(x^2))+sqrt(1+1/(x^2))))=2/(|x|(sqrt(1+o(1))+sqrt(1+o(1))))=1/(xsqrt(1+o(1)))$ e fino a qua ci sono, poi:
$1/(xsqrt(1+o(1)))=(1+o(1))/x$ non riesco a capacitarmi di quest'ultimo passaggio. che operazione fa??

[vl4dster]

io penso che si accorga del fatto che gli serve un $(1+o(1))/x$ a denominatore e che lo faccia spuntare sapendo che $\lim_{x->∞}(1/(xsqrt(1+o(1))))/((1+o(1))/x)=1$ dunque sono asintotiche, ma non fidarti troppo...

[Sk_Anonymous]

ok semplicemente:
$1/sqrt(1+o(1)) -> 1+o(1) rArr 1/(xsqrt(1+o(1))) -> (1+o(1))/x
grazie a tutti