O grandi
Sia $f$ derivabile su un intervallo reale contentente $0$.
Se $f(x)=O(x^n)$ per $x->0$, è vero che $f'(x)=O(x^(n-1))$ per $x->0$?
Se $f(x)=O(x^n)$ per $x->0$, è vero che $f'(x)=O(x^(n-1))$ per $x->0$?
Risposte
Prova ad usare la definizione di O-grande.
DAlla definizione ho che $f(x)/x^n$ è limitata vicino a $0$, ma questo non credo mi garantisca che $(f'(x))/x^(n-1)$ lo sia. O sbaglio?
Aspetta forse dovrei usare i teroema di De L'Hopital?
La definizione di O-grande è la seguente:
[tex]$f \text{ è O$(g)$ in $x_0$} \quad \Leftrightarrow \quad \exists K\geq 0,\exists \delta >0:\ \forall x\in ]x_0-\delta, x_0+\delta[\cap X\cap Y,\quad |f(x)|\leq K|g(x)|$[/tex]*;
qui ovviamente [tex]$f:X\to \mathbb{R}$[/tex], [tex]$g:Y\to \mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0$[/tex] è un p.d.a. per [tex]$X\cap Y$[/tex].
Noto esplicitamente che [tex]$f$[/tex] è un [tex]$\text{O} (1)$[/tex] se e solo se è definitivamente limitata intorno a [tex]$x_0$[/tex].
EDIT: Scusa, ho sbagliato il controesempio... Capita ogni tanto.
Ci penso un altro po'...
RI-EDIT: Prendiamo [tex]$f(x)=x\sin \frac{1}{x} ,\ f(0)=0$[/tex], [tex]$g(x)=x$[/tex], [tex]$X=Y=]-1,1[$[/tex] ed [tex]$x_0=0$[/tex].
Evidentemente [tex]$x\sin \frac{1}{x}$[/tex] è un [tex]$\text{O}(x)$[/tex] in [tex]$0$[/tex] (perchè [tex]$\left| \sin \frac{1}{x} \right| \leq 1$[/tex]) epperò [tex]$f^\prime (x) =\sin \frac{1}{x} -\frac{1}{x}\ \cos \frac{1}{x}$[/tex] non è un [tex]$\text{O}(1)$[/tex] in $0$, giacché non è definitivamente limitata intorno a [tex]$0$[/tex].
Più in generale, una funzione del tipo [tex]$f(x):=x^n \sin \frac{1}{x}$[/tex] è un [tex]$\text{O}(x^n)$[/tex] in [tex]$0$[/tex], però la derivata [tex]$f^\prime (x):=nx^{n-1}\sin \frac{1}{x} -x^{n-2} \cos \frac{1}{x}$[/tex] non è un [tex]$\text{O} (x^{n-1})$[/tex] in [tex]$0$[/tex].
__________
* Questa definizione (che coincide con la tua se [tex]$g$[/tex] è definitivamente diversa da zero intorno ad [tex]$x_0$[/tex]) non crea problemi nei punti in cui [tex]$g$[/tex] si annulla.
[tex]$f \text{ è O$(g)$ in $x_0$} \quad \Leftrightarrow \quad \exists K\geq 0,\exists \delta >0:\ \forall x\in ]x_0-\delta, x_0+\delta[\cap X\cap Y,\quad |f(x)|\leq K|g(x)|$[/tex]*;
qui ovviamente [tex]$f:X\to \mathbb{R}$[/tex], [tex]$g:Y\to \mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0$[/tex] è un p.d.a. per [tex]$X\cap Y$[/tex].
Noto esplicitamente che [tex]$f$[/tex] è un [tex]$\text{O} (1)$[/tex] se e solo se è definitivamente limitata intorno a [tex]$x_0$[/tex].
EDIT: Scusa, ho sbagliato il controesempio... Capita ogni tanto.
Ci penso un altro po'...
RI-EDIT: Prendiamo [tex]$f(x)=x\sin \frac{1}{x} ,\ f(0)=0$[/tex], [tex]$g(x)=x$[/tex], [tex]$X=Y=]-1,1[$[/tex] ed [tex]$x_0=0$[/tex].
Evidentemente [tex]$x\sin \frac{1}{x}$[/tex] è un [tex]$\text{O}(x)$[/tex] in [tex]$0$[/tex] (perchè [tex]$\left| \sin \frac{1}{x} \right| \leq 1$[/tex]) epperò [tex]$f^\prime (x) =\sin \frac{1}{x} -\frac{1}{x}\ \cos \frac{1}{x}$[/tex] non è un [tex]$\text{O}(1)$[/tex] in $0$, giacché non è definitivamente limitata intorno a [tex]$0$[/tex].
Più in generale, una funzione del tipo [tex]$f(x):=x^n \sin \frac{1}{x}$[/tex] è un [tex]$\text{O}(x^n)$[/tex] in [tex]$0$[/tex], però la derivata [tex]$f^\prime (x):=nx^{n-1}\sin \frac{1}{x} -x^{n-2} \cos \frac{1}{x}$[/tex] non è un [tex]$\text{O} (x^{n-1})$[/tex] in [tex]$0$[/tex].
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* Questa definizione (che coincide con la tua se [tex]$g$[/tex] è definitivamente diversa da zero intorno ad [tex]$x_0$[/tex]) non crea problemi nei punti in cui [tex]$g$[/tex] si annulla.
Grazie mille!
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