O grande e equivalenza asintotica

claudioz94


Ciao a tutti, vi scrivo per chiedervi qualche consiglio perchè ho qualche problema a studiare la convergenza di integrali di questo tipo (Ho messo l'immagine per fare un esempio), proprio perchè non so come applicare l'equivalenza asintotica nel caso del problema a infinito quando ci sono le funzioni elementari (a 0 si applica sostituendo le funzioni con i primi termini degli sviluppi di taylor, per poi prendere in considerazione la potenza minore).
A infinito si parla di O grande.. potete darmi una mano? Cioè, in questo caso cosa vado a sostituire a arctan? (gli sviluppini si applicano solo quando x tende a 0!).
Vorrei se possibile che mi diciate come devo comportarmi non solo con l'arcotangente ma con tutte le funzioni elementari. Grazie in anticipo!

Risposte
ciampax
I problemi si presentano in $0$ e $+\infty$.
Per $x\to 0^+$ osserva che $\lim_{x\to 0^+}\arctan\frac{5}{t^2}=\frac{\pi}{2}$ da cui
$$\frac{\arctan(5/t^2)}{t^\alpha}\sim\frac{1}{t^\alpha}$$
e l'integrale converge per $\alpha <1$.
Per $x\to+\infty$ abbiamo invece
$$\frac{\arctan(5/t^2)}{t^\alpha}\sim\frac{5/t^2}{t^\alpha}=\frac{5}{t^{2+\alpha}}$$
e l'integrale converge per $2+\alpha>1\ \Rightarrow\ \alpha> -1$. In definitiva l'integrale converge per $-1<\alpha<1$

P.S.:l'asintoticità dell'arcotangente per $x\to +\infty$ viene dal fatto che $5/t^2\to 0$ e che $\arctan(s)$ è equivalente a $s$ per $s\to 0$.

claudioz94
Grazie, a quanto pare mi sbagliavo facendo l'inverso, ossia nel problema a 0 facevo l'equivalenza asintotica come hai fatto tu a infinito, mentre a infinito tentavo di risolvere come invece hai risolto tu il problema in 0.
Allora,
il procedimento con problema a infinito lo capisco, ma non riesco a capire come ti muovi quando il problema è 0. Cioè, come hai sfruttato il limite dell'arctan nell'equivalenza? perchè al posto di tutta l'arctan è venuto semplicemente 1?
Questa cosa inoltre vale solo per l'arctan o per altre funzioni? Non sembra un procedimento complicato, voglio solo capire in cosa consiste :D

ciampax
Per $t\to 0$ abbiamo $5/t^2\to +\infty$ e quindi $\arctan(5/t^2)=\pi/2$. Pertanto nel comportamento asintotico tale funzione si comporta come una costante, che puoi assumere anche pari a 1 (tanto è solo uno studio qualitativo, non quantitativo). Il limite è finito in quanto l'arcotangente è limitata tra $(-\pi/2,\pi/2)$. Se proprio vuoi essere pignolo, il confronto asintotico a zero è con la funzione $\pi/{2t^\alpha}$.

claudioz94
E se al posto di quell'arcotangente ci fosse per esempio un coseno? O un seno? Anche per loro l'equivalenza asintotica varrebbe 1?

ciampax
No, ovviamente. C'è una ben nota "tabella"dei comportamenti asintotici delle funzioni elementari che viene fuori dai limiti notevoli. Ad esempio, dal fatto che
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\ \Rightarrow\ \sin x\sim x,\ x\to 0$$
e in generale,se $f$ è una funzione per cui $\lim_{x\to x_0} f(x)=0$ allora
$$\sin f(x)\sim f(x)$$
e così via.
Però queste sono le basi, che vengono fuori solo dopo aver studiato la teoria... e mi sa che ti sei perso qualcosa, dico bene?

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