Nuovo integrale!
Ragazzi sto avendo qualche problemino con questo integrale $ int(sin(x)-sin(2x))/((1+cos(x))^2) dx $ io l'ho svolto così(vedrò di spiegarlo passo dopo passo così da essere il più esaustivo possibile!)
1)per la formula di duplicazione del sin abbiamo che $ sin(2x)= 2sin(x)cos(x) $ che vado a sostituire al numeratore,avendo così: $ int(sin(x)-2sin(x)*cos(x))/((1+cos(x))^2) dx $
2)ho notato che la Derivata del denominatore è: $ -2sin(x)*(1+cos(x)) $ ossia: $ -2sin(x)-2sin(x)cos(x) $ quindi per avere perfettamente la derivata del denominatore al numeratore mi serve il $-2sin(x)$
3)aggiungo e sottraggo $3sin(x)$ ottenendo $ int(3sin(x)-2sin(x)-2sin(x)*cos(x))/((1+cos(x))^2) dx $
4)spezzo la frazione e per la proprietà distributiva ottengo: $ int 3sin(x)/(1+cos(x))^2dx + int(-2sin(x)-2sin(x)*cos(x))/((1+cos(x))^2)) dx $
5)occupiamoci del primo integrale: per la proprietà di omogeneità posso portare il 3 fuori dall'integrale; la derivata del denominatore(solo 1+cos(x)) è $-sin(x)$ quindi moltiplico e divido per -1 e applico la proprietà dell'integrale di una potenza ottenendo: $ -3*((1+cos(x)^(-2+1)))/(-2+1) $ e quindi: $ 3/((1+cos(x))) $
6)il secondo integrale invece sarebbe $ log(1+cos(x))^2 $ e quindi il risultato dovrebbe essere $ 3/((1+cos(x))) + log(1+cos(x))^2 +c $ mentre invece è: $ 3/((1+cos(x))) + 4log(cos(x/2)) +c $ dove sto sbagliando??Grazie a tutti per i consigli.
1)per la formula di duplicazione del sin abbiamo che $ sin(2x)= 2sin(x)cos(x) $ che vado a sostituire al numeratore,avendo così: $ int(sin(x)-2sin(x)*cos(x))/((1+cos(x))^2) dx $
2)ho notato che la Derivata del denominatore è: $ -2sin(x)*(1+cos(x)) $ ossia: $ -2sin(x)-2sin(x)cos(x) $ quindi per avere perfettamente la derivata del denominatore al numeratore mi serve il $-2sin(x)$
3)aggiungo e sottraggo $3sin(x)$ ottenendo $ int(3sin(x)-2sin(x)-2sin(x)*cos(x))/((1+cos(x))^2) dx $
4)spezzo la frazione e per la proprietà distributiva ottengo: $ int 3sin(x)/(1+cos(x))^2dx + int(-2sin(x)-2sin(x)*cos(x))/((1+cos(x))^2)) dx $
5)occupiamoci del primo integrale: per la proprietà di omogeneità posso portare il 3 fuori dall'integrale; la derivata del denominatore(solo 1+cos(x)) è $-sin(x)$ quindi moltiplico e divido per -1 e applico la proprietà dell'integrale di una potenza ottenendo: $ -3*((1+cos(x)^(-2+1)))/(-2+1) $ e quindi: $ 3/((1+cos(x))) $
6)il secondo integrale invece sarebbe $ log(1+cos(x))^2 $ e quindi il risultato dovrebbe essere $ 3/((1+cos(x))) + log(1+cos(x))^2 +c $ mentre invece è: $ 3/((1+cos(x))) + 4log(cos(x/2)) +c $ dove sto sbagliando??Grazie a tutti per i consigli.
Risposte
Formula di duplicazione del coseno:
[tex]\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}[/tex]
quindi
[tex]\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos(x)}{2}[/tex]
Immagino che nella costante [tex]c[/tex] sia incluso anche [tex]\log4[/tex]
[tex]\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}[/tex]
quindi
[tex]\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos(x)}{2}[/tex]
Immagino che nella costante [tex]c[/tex] sia incluso anche [tex]\log4[/tex]
"K.Lomax":
Formula di duplicazione del coseno:
[tex]\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}[/tex]
quindi
[tex]\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos(x)}{2}[/tex]
Immagino che nella costante [tex]c[/tex] sia incluso anche [tex]\log4[/tex]
Ti ringrazio per la risposta. Non ho capito però una cosa....quello che fai tu è svolgere il quadrato di binomio che c'è come argomento del logaritmo e poi al $cos^2(x)$ sostituisci [tex]\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}[/tex] ottenendo così: $ log((2+4cos(x) +1+cos(2x))/2) $ ??e da qui al risultato come ci arrivi???Grazie ancora
No, partendo da questa (che ti ho scritto prima)
[tex]\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos(x)}{2}[/tex]
puoi sostituire
[tex]1+\cos(x)=2\cos^2(\frac{x}{2})[/tex]
ovvero
[tex]\left[1+\cos(x)\right]^2=4\cos^4(\frac{x}{2})[/tex]
[tex]\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos(x)}{2}[/tex]
puoi sostituire
[tex]1+\cos(x)=2\cos^2(\frac{x}{2})[/tex]
ovvero
[tex]\left[1+\cos(x)\right]^2=4\cos^4(\frac{x}{2})[/tex]
"K.Lomax":
No, partendo da questa (che ti ho scritto prima)
[tex]\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+\cos(x)}{2}[/tex]
puoi sostituire
[tex]1+\cos(x)=2\cos^2(\frac{x}{2})[/tex]
ovvero
[tex]\left[1+\cos(x)\right]^2=4\cos^4(\frac{x}{2})[/tex]
Ahhhh ora ho capito!!
Però(se posso permettermi) così risulta un log4 che nel risultato non c'è!!
Ho specificato (sempre nel precedente post) che evidentemente è un fattore incluso nella costante [tex]c[/tex].
quindi posso scriverlo come posso anche non scriverlo e non cambia niente??
No, sto dicendo che evidentemente il libro (o chi altri) ne ha tenuto conto inserendolo nella costante simbolica, ma, in generale, dovresti tenerne conto. Poi, a prescindere se ci sia o meno, la derivata è la stessa. Ma questo è un altro discorso.
grazie mille per l'aiuto!!
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