Nuovo esercizio sul teorema di Lagrange

[Manugal]

Ciao a tutti!

Sono di nuovo di fronte ad un esercizio da fare usando il teorema di Lagrange. Il testo è il seguente:

Dimostrare (utilizzando il teorema di Lagrange) che vale la disuguaglianza seguente per ogni x ed y maggiori o uguali a 0:

$|((senx)/e^x)-((seny)/e^y)|<=2|x-y|$

Chi mi da una mano? Grazie.

[zorn1]

Dal teorema di Lagrange ottieni che la quantità al primo membro è uguale a $|(e^c * cos c-e^c*sin c)/e^(2c)|*|x-y|$ per qualche $c in [x;y]$ (per fissare le idee $x<=y$).

Maggioro, ricordando tra l'altro che $c>=0 => e^c>=1$:

$|(e^c * cos c-e^c*sin c)/e^(2c)|*|x-y|=|(cos c-sin c)/e^(c)|*|x-y|<=|=|(cos c-sin c)/1|*|x-y|<=(|cos c|+|sin c|)*|x-y|<=2|x-y|$

come si voleva... bastava applicare bene il teorema, il resto sono disuguaglianze elementari

[Manugal]

Non ho capito perché da $|cosc-senc|$ sei arrivato a $|cosc|+|senc|$.

[amel3]

$|cosc-senc|<=|cosc|+|-senc|=|cosc|+|senc|$
Scusate se mi sono intromesso...

[Manugal]

Ok. Grazie ora ho capito.

[zorn1]

Ecco. Infatti se $a,b in RR$ si ha anche $|a-b|<=|a|+|b|$ essendo $|a-b|=|a+(-b)|<=|a|+|-b|=|a|+|b|$