Nuova successione di funzioni per intervalli (risolta) ma...con dubbio
A beneficio di tutti inserisco un'altra successione con la quale mi sono cimentato e che dovrei aver risolto.
A voi il commento e nel caso la correzione se avessi sbagliato.
Mi auguro che possano essere di utilità per qualcuno visto che di così non è che ne abbia trovate molte:
\begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} (1-sin\ x)^n, &0\le x < \frac{n+1}{n}\\ \frac{2nx-n}{nx^2+1}, & \frac{n+1}{n}\le x \le 2 \end{cases}\end{equation*}
Si nota subito che nel primo intervallo di definizione:
$ x=0,f(x)=1, f(x)=0 x in ]0,1] $.
Ne consegue che essendo la successione costruita di funzioni continue,avendo come limite una funzione discontinua la sua convergenza è puntuale nell'insieme di definizione.
Per quanto concerne il secondo insieme notiamo che:
$ \lim_{\ n \to +\infty} Sup\ x \in I \ || f_n(x)-f(x) || = \lim_{\ n \to +\infty} Sup\ x \in I \ \|\|\frac{1-2x}{x^2(nx^2+1)}\|\| $.
Ora dal fatto che la derivata di questa funzione è negativa se ne deduce che la funzione in questione è sempre decrescente ed il Sup è assunto in $ x=\frac{n+1}{n} \ $.
Chiamando $ a=\frac{n+1}{n} $
otteniamo $ \lim_{\ n\to + \infty} \frac{2a-1}{a^2 ( na^2+1 )} = 0 \ $.
Possiamo arrivare a concludere che la successione di funzioni $ f_n (x) $ converge uniformemente in $ x \in [\frac{n+1}{n},2] $?
Un saluto
A.
A voi il commento e nel caso la correzione se avessi sbagliato.
Mi auguro che possano essere di utilità per qualcuno visto che di così non è che ne abbia trovate molte:
\begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} (1-sin\ x)^n, &0\le x < \frac{n+1}{n}\\ \frac{2nx-n}{nx^2+1}, & \frac{n+1}{n}\le x \le 2 \end{cases}\end{equation*}
Si nota subito che nel primo intervallo di definizione:
$ x=0,f(x)=1, f(x)=0 x in ]0,1] $.
Ne consegue che essendo la successione costruita di funzioni continue,avendo come limite una funzione discontinua la sua convergenza è puntuale nell'insieme di definizione.
Per quanto concerne il secondo insieme notiamo che:
$ \lim_{\ n \to +\infty} Sup\ x \in I \ || f_n(x)-f(x) || = \lim_{\ n \to +\infty} Sup\ x \in I \ \|\|\frac{1-2x}{x^2(nx^2+1)}\|\| $.
Ora dal fatto che la derivata di questa funzione è negativa se ne deduce che la funzione in questione è sempre decrescente ed il Sup è assunto in $ x=\frac{n+1}{n} \ $.
Chiamando $ a=\frac{n+1}{n} $
otteniamo $ \lim_{\ n\to + \infty} \frac{2a-1}{a^2 ( na^2+1 )} = 0 \ $.
Possiamo arrivare a concludere che la successione di funzioni $ f_n (x) $ converge uniformemente in $ x \in [\frac{n+1}{n},2] $?
Un saluto
A.
Risposte
Come hai giustamente osservato:
Poiché $f(x)$ non è continua per $[x=0]$ e per $[x=1]$, puoi avere convergenza uniforme solo nei seguenti intervalli:
Nel primo intervallo, per $[n rarr +oo]$:
Nel secondo intervallo:
La derivata mi risulta negativa quando:
Anche se dovresti argomentarlo, hai senz'altro ragione. In definitiva, per $[n rarr +oo]$:
Non devi assolutamente scrivere così, l'intervallo non può dipendere da $n$. Piuttosto, come scritto in precedenza, si ha convergenza uniforme per :
Non è chiaro che cosa tu intenda. Nonostante $f(x)$ sia discontinua nell'intervallo completo di definizione, si può avere convergenza uniforme in un qualche sottointervallo.
Ho l'impressione che tu abbia alcune lievi misconcezioni.
$[x=0] rarr [lim_(n->+oo)f_n(0)=1]$
$[0 lt x lt= 1] rarr [lim_(n->+oo)f_n(x)=0]$
$[1 lt x lt= 2] rarr [lim_(n->+oo)f_n(x)=(2x-1)/x^2]$
Poiché $f(x)$ non è continua per $[x=0]$ e per $[x=1]$, puoi avere convergenza uniforme solo nei seguenti intervalli:
$AA bar\delta gt 0: bar\delta lt= x lt= 1$
$AA barbar\delta gt 0: 1+barbar\delta lt= x lt= 2$
Nel primo intervallo, per $[n rarr +oo]$:
Sup $|f_n(x)-f(x)|=$Sup $(1-sinx)^n=(1-sin\bardelta)^n rarr 0$
Nel secondo intervallo:
Sup $|f_n(x)-f(x)|=$Sup $(2x-1)/(x^2(nx^2+1))$
La derivata mi risulta negativa quando:
$3nx^3-2nx^2+x-1 gt 0$
"Gandalf73":
... la derivata di questa funzione è negativa ...
Anche se dovresti argomentarlo, hai senz'altro ragione. In definitiva, per $[n rarr +oo]$:
Sup $|f_n(x)-f(x)|=(n^2(n+2))/((n+1)^2(n^2+2n+2)) rarr 0$
"Gandalf73":
Possiamo arrivare a concludere che la successione di funzioni $f_n(x)$ converge uniformemente in $x\in[\frac{n+1}{n},2]$ ...
Non devi assolutamente scrivere così, l'intervallo non può dipendere da $n$. Piuttosto, come scritto in precedenza, si ha convergenza uniforme per :
$AA barbar\delta gt 0: 1+barbar\delta lt= x lt= 2$
"Gandalf73":
... essendo la successione costruita di funzioni continue, avendo come limite una funzione discontinua, la sua convergenza è puntuale nell'insieme di definizione ...
Non è chiaro che cosa tu intenda. Nonostante $f(x)$ sia discontinua nell'intervallo completo di definizione, si può avere convergenza uniforme in un qualche sottointervallo.
"Gandalf73":
A voi il commento ...
Ho l'impressione che tu abbia alcune lievi misconcezioni.
Ciao carissimo e grazie per le sottili osservazioni che tanto mi insegnano!Due cose da dire la prima sulla derivata che hai indicato.Per $ x in [1,2] $ la diseguaglianza dovrebbe valere sempre.La seconda che posso è che se non vi fosse stato il punto zero incluso nel primo intervallo,sbaglio nell'affermare che la convergenza sarebbe stata uniforme su entrambi gli insiemi di definizione assegnati?Un saluto.A.
"Gandalf73":
Per $x in [1,2]$ la disequazione dovrebbe valere sempre ...
Concordo. Ti chiedevo solo di argomentarlo. Per esempio:
$[AA barbar\delta gt 0: 1+barbar\delta lt= x lt= 2] rarr [3x-2 gt 0] ^^ [x-1 gt 0] rarr$
$rarr [3nx^3-2nx^2+x-1=nx^2(3x-2)+x-1 gt 0]$
"Gandalf73":
... se non vi fosse stato $0$ incluso nel primo intervallo ... la convergenza sarebbe stata uniforme su entrambi gli insiemi di definizione ...
Questa è proprio una delle misconcezioni di cui parlo. Nel nuovo caso ipotizzato, l'analisi sarebbe stata assolutamente la stessa. Ti invito a riflettere più attentamente. Un errore che senz'altro commetti è ritenere che la successione di funzioni sia definita su due intervalli. In realtà, pur essendo definita a tratti, la successione di funzioni è definita sul solo intervallo $[0 lt= x lt=2]$. L'analisi svolta in precedenza ti permette di determinare i due sottointervalli chiusi e limitati più estesi in cui la convergenza è uniforme. Se vuoi liberarti da questa misconcezione, devi comprendere profondamente che il fatto che $0$ sia o non sia incluso non ha alcuna rilevanza. Tra l'altro, non necessariamente i sottointervalli sono due perché la successione di funzioni è definita mediante due tratti. Mi dispiace ma, non esistono regole fisse. Insomma, si tratta di allargare i propri orizzonti ostinatamente.
Sono sicuramente in linea.Ma la cosa che mi confonde è che se il punto zero è inserito nell insieme di definizione,non cambia la metodologia di Analisi ma la f(x) non è continua nell insieme dato e se non erro esiste un teorema che lega la convergenza uniforme alla continuità della f(x). In soldoni tutto passa per il delta piccolo a piacere che mi permette di escludere lo zero.Se mi attenessi al testo che vuole il punto zero incluso nell'insieme, non potrei affermare la convergenza uniforme se la f(x) presenta una discontinuità nel punto in cui è definita la successione stessa e le funzioni che la compongono sono tutte continue...o sbaglio?
"Gandalf73":
... la f(x) non è continua nell'insieme dato e, se non erro, esiste un teorema che lega la convergenza uniforme alla continuità della f(x) ...
"Gandalf73":
Se mi attenessi al testo che vuole il punto zero incluso nell'insieme, non potrei affermare la convergenza uniforme se la f(x) presenta una discontinuità nel punto in cui è definita la successione stessa e le funzioni che la compongono sono tutte continue ...
"Gandalf73":
... se l'esercizio include lo zero non posso dire che nell'intervallo assegnato ho uniforme continuità per il teorema della successione di funzioni continue che tende ad una funzione non continua nell'intervallo.
"Gandalf73":
... tutto passa per il delta piccolo a piacere che mi permette di escludere lo zero ...
La parte iniziale del mio primo messaggio verteva proprio sulle osservazioni sopra riportate:
"anonymous_0b37e9":
Poiché $f(x)$ non è continua per $[x=0]$ e per $[x=1]$, puoi avere convergenza uniforme solo nei seguenti intervalli:
$AA bar\delta gt 0: bar\delta lt= x lt= 1$
$AA barbar\delta gt 0: 1+barbar\delta lt= x lt= 2$
Inoltre, ti ricordo che un delta piccolo a piacere è necessario, non solo per $[x=0]$, ma anche per $[x=1]$. Ad ogni modo, pur condividendo gran parte delle tue osservazioni, mi sembra di capire che, nel caso in cui il testo non avesse incluso $[x=0]$ nel dominio di definizione, tu sia portato a pensare che sussista convergenza uniforme nell'intervallo $[0 lt x lt= 1]$. Invece, anche in questo caso, si sarebbe avuto convergenza uniforme nell'intervallo $[bar\delta lt= x lt= 1]$. Sei sicuro di averne compreso il motivo?
"Gandalf73":
Credo sia stata pensata appositamente per quel tranello.
Te lo chiedo perché non sono portato a considerarlo un tranello. A proposito:
"Gandalf73":
... se non vi fosse stato il punto zero incluso nel primo intervallo, sbaglio nell'affermare che la convergenza sarebbe stata uniforme su entrambi gli insiemi di definizione assegnati?
Qui sbagliavi. Inoltre, ribadisco che non ha alcun senso parlare di convergenza uniforme su un intervallo i cui estremi dipendono da $n$ e che la successione di funzioni, pur essendo definita a tratti, è definita nel solo intervallo $[0 lt= x lt=2]$.
Inoltre, ti ricordo che un delta piccolo a piacere è necessario, non solo per $ [x=0] $, ma anche per $ [x=1] $. Ad ogni modo, pur condividendo gran parte delle tue osservazioni, mi sembra di capire che, nel caso in cui il testo non avesse incluso Inoltre, ti ricordo che un delta piccolo a piacere è necessario, non solo per $ [x=0] $, nel dominio di definizione, tu sia portato a pensare che sussista convergenza uniforme nell'intervallo $ [0 lt x lt= 1] $ invece, anche in questo caso, si sarebbe avuto convergenza uniforme nell'intervallo $ [bar\delta lt= x lt= 1] $. Sei sicuro di averne compreso il motivo?
Effettivamente no, non posso dire di aver compreso il motivo per il quale l'ntervallo di convergenza $ [0 lt x lt= 1] $ viene espresso, nel caso parlassimo di successioni, come $ [bar\delta lt= x lt= 1] $.
Forse in luogo di $ [0 lt x lt= 1] $ sarebbe stato più opportuno scrivere $ (0 lt x lt= 1] $ che di fatto è la stessa cosa di $ [bar\delta lt= x lt= 1] $? Magari un errore "formale"?
La seguente scrittura:
è del tutto equivalente a questa:
Le parentesi quadre non hanno alcun significato. Avessi voluto servirmi della notazione con le parentesi, avrei scritto:
oppure:
Quella scrittura non è utilizzata. Si utilizzano le parentesi, tonde e/o quadre chiuse e/o aperte, oppure i simboli di maggiore e minore. A questo punto, non vorrei fosse stato tutto un malinteso.
$[0 lt x lt= 1]$
è del tutto equivalente a questa:
$0 lt x lt= 1$
Le parentesi quadre non hanno alcun significato. Avessi voluto servirmi della notazione con le parentesi, avrei scritto:
$]0,1]$
oppure:
$(0,1]$
"Gandalf73":
... sarebbe stato più opportuno scrivere $(0 lt x lt= 1]$ ...
Quella scrittura non è utilizzata. Si utilizzano le parentesi, tonde e/o quadre chiuse e/o aperte, oppure i simboli di maggiore e minore. A questo punto, non vorrei fosse stato tutto un malinteso.
Ciao Elias,
non è dire la stessa cosa esprimere il concetto con terminologia matematica in questo modo?
convergenza uniforme in
$ [0 lt x lt= 1] $
oppure in
$ [bar\delta lt= x lt= 1] $
(secondo come richiesto dal testo del problema):
puntuale in
$ [0,1] $
oppure in
$ 0 < x <=1 $
Un salutone e passami la pignoleria...ma con questi dettagli mi sento di imparare molto (per lo meno a tema).
b domenica.
A,
ps per me diciamo la stessa cosa entrambi ma con "formulazioni differenti"
non è dire la stessa cosa esprimere il concetto con terminologia matematica in questo modo?
convergenza uniforme in
$ [0 lt x lt= 1] $
oppure in
$ [bar\delta lt= x lt= 1] $
(secondo come richiesto dal testo del problema):
puntuale in
$ [0,1] $
oppure in
$ 0 < x <=1 $
Un salutone e passami la pignoleria...ma con questi dettagli mi sento di imparare molto (per lo meno a tema).
b domenica.
A,
ps per me diciamo la stessa cosa entrambi ma con "formulazioni differenti"
"Gandalf73":
... non è dire la stessa cosa ... convergenza uniforme in $[0 lt x lt= 1]$ oppure in $[bar\delta lt= x lt= 1]$ ...
Ciao Gandalf73. Mi dispiace ma non è la stessa cosa. Ti faccio un esempio di scuola in cui la sostanza non cambia, essendo $f(x)$ discontinua a destra piuttosto che a sinistra nell'intervallo di definizione:
$[0 lt= x lt= 1] ^^ [f_n(x)=x^n]$
$[0 lt= x lt 1] rarr [f(x)=lim_(n->+oo)x^n=0]$
$[x = 1] rarr [f(1)=lim_(n->+oo)1^n=1]$
Intanto, poiché $f(x)$ non è continua per $0 lt= x lt= 1$, $f_n(x)$ non può convergere uniformemente per $0 lt= x lt= 1$.
Tuttavia, $f_n(x)$ converge uniformemente per $0 lt= x lt= 1-\delta$.
Infatti, per ogni $\epsilon gt 0$ esiste $n_\epsilon in NN$ tale che, per ogni $n gt n_\epsilon$ e per ogni $0 lt= x lt= 1-\delta$, vale $x^n lt \epsilon$.
In parole semplici, come si può osservare anche in figura, a patto di prendere un indice $n$ sufficientemente grande, le ordinate $y$ di tutte le curve il cui indice è maggiore di $n$, calcolate per $0 lt= x lt= 1-\delta$, possono essere rese minori di $\epsilon$, insomma, piccole a piacere.
Se, invece di considerare $0 lt= x lt= 1-\delta$, si considera $0 lt= x lt= 1$ ma anche $0 lt= x lt 1$, non fa alcuna differenza, la proprietà di cui sopra non sussiste più perché, in un qualsiasi intorno sinistro di $x=1$ piccolo a piacere, le ordinate $y$ delle curve diventano, prima o poi, maggiori di $\epsilon$, dovendo tendere a $1$.
Infatti, soddisfare la proprietà che contraddistingue la convergenza uniforme per $0 lt= x lt 1$ è impossibile proprio perché, dovendo impedire alle ordinate di diventare maggiori di $\epsilon$, è necessario impedire ad $x$ di assumere un valore arbitrariamente vicino a $1$, $0 lt= x lt= 1-\delta$ per l'appunto.
Se i contenuti di cui sopra ti erano già chiari, a maggior ragione, perché il tuo interlocutore non sospetti una misconcezione, dovresti utilizzare le notazioni corrette.
In definitiva, utilizzare $0 lt= x lt 1$ al posto di $0 lt= x lt= 1-\delta$ con $delta$ piccolo a piacere, è concettualmente sbagliato.
Non è una mera questione di notazioni.
Vero è che l'unione infinita non numerabile $uuu_{AA \delta gt 0}0 lt= x lt= 1-\delta$ coincide con $0 lt= x lt 1$, ma questa proprietà topologica, secondo la quale un'unione infinita di intervalli chiusi può ben dare un intervallo aperto, non ha nulla a che fare con i contenuti in esame.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro, più di così non credo di poter fare.
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