NUmero zeri al variare di parametro di una funzione con log
Buon giorno...
Mettiamo di avere una funzione del tipo
$ f(x) = P(x)+\alpha|log x|$, con P(x) un banale polinomio e alfa un numero reale positivo..
E' giusto, per x<1, visto che il log è negativo, studiarmi la funzione
$f(x)-\alpha\log x$?
Mettiamo di avere una funzione del tipo
$ f(x) = P(x)+\alpha|log x|$, con P(x) un banale polinomio e alfa un numero reale positivo..
E' giusto, per x<1, visto che il log è negativo, studiarmi la funzione
$f(x)-\alpha\log x$?
Risposte
Spero tu volessi dire $f(x)=P(x)-\alpha\log x$. Comunque sì, è giusto (ma per $0
Ovvio...cmq posto l'esercizio dove ho difficoltà
Devo dire per quali k l'equazione
$20x^3-87x^2-54|log x|=k$ Ha tre soluzioni distinte. Ho scomposto il valore assoluto nel seguente modo
$f(x)= 20 x^3-87x^2-54 log x-k $ se x maggiore o uguale a 1.
$f(x)= 20 x^3-87x^2+54 log x -k $ se x è minore di 1.
Per questi valori vengono due "derivate" diverse:
$f'(x) = 60 x^3-174 x^2 - 54 $ se x magg o ug 1
$ f'(x) = 60 x^3-174x^2+54 $ se x min di 1.
Ora la prima (caso maggiore o uguale di 1) l'ho facilmente scomposta e ho trovato un minimo in x = 3. Il problema è che per x<1 l'equazione "cambia"...e non sembra risolvibile analiticamente con la stessa facilità co cui ho risolto la prima...ho sbagliato qlcs? (Mi interessa trovare massimi e minimi...per il resto posso pensarci io, basta calcolare qualche limite)
Devo dire per quali k l'equazione
$20x^3-87x^2-54|log x|=k$ Ha tre soluzioni distinte. Ho scomposto il valore assoluto nel seguente modo
$f(x)= 20 x^3-87x^2-54 log x-k $ se x maggiore o uguale a 1.
$f(x)= 20 x^3-87x^2+54 log x -k $ se x è minore di 1.
Per questi valori vengono due "derivate" diverse:
$f'(x) = 60 x^3-174 x^2 - 54 $ se x magg o ug 1
$ f'(x) = 60 x^3-174x^2+54 $ se x min di 1.
Ora la prima (caso maggiore o uguale di 1) l'ho facilmente scomposta e ho trovato un minimo in x = 3. Il problema è che per x<1 l'equazione "cambia"...e non sembra risolvibile analiticamente con la stessa facilità co cui ho risolto la prima...ho sbagliato qlcs? (Mi interessa trovare massimi e minimi...per il resto posso pensarci io, basta calcolare qualche limite)
Prova ad applicare il teorema di esistenza degli zeri alla seconda derivata (quindi devi derivarla una seconda volta) per vedere se e quando si annulla... da lì dovresti riuscire a capire quali sono i massimi e minimi (se ci sono) in $(0,1)$ (dove quella funzione è definita).
P.S.: spero ovviamente che tu abbia omesso la $x$ a denominatore delle due derivate assumendo che essa debba necessariamente essere positiva.
P.S.: spero ovviamente che tu abbia omesso la $x$ a denominatore delle due derivate assumendo che essa debba necessariamente essere positiva.
[mod="dissonance"]@newton: Metti un titolo più specifico, per favore, "Dubbio" è troppo generico e non indica bene l'oggetto della discussione. Vedi regolamento (clic). Grazie.[/mod]
Ho provato ad applicare lo studio della derivata seconda, come ha detto ciampax...e in effetti sono riuscito a domostrare che tra 0 e 1 c'è un massimo relativo. Il problema però è "dove"? C'è un modo per scoprirlo senza risolvere quell'equazionaccia di terzo grado? Mi serve sapere dov'è esattamente questo massimo perchè ho bisogno di capire qual'è il valore in corrispondenza di questa x....cioè il valore massimo della y in funzione di k...devo infatti trovare i valori di k per cui l'equazione di partenza ha 3 zeri...e sono riuscito finora a dedurre il valore MINIMO di questo k. Il problema è determinarmi il valore MASSIMO e questo non posso farlo se prima non so quant'è f(alfa) dove alfa è il massimo compreso tra 0 e 1...
Allora voglio riepilogare un attimo il problema in esame. Si tratta di vedere quanti zeri ha la seguente equazione
$20x^3-87x^2-54|log x| = k$ al variare del parametro k.
TENTATA RISOLUZIONE.
Innanzitutto possiamo scomporre la funzione nel modo seguente
$20x^3-87x^2-54 log x =k$ se $log x >=0\implies x>=1$
$20x^3-87x^2+54 log x =k$ se $log x >=0\implies x<1$
Avendo già risolto il caso "positivo", andiamo direttamente nel caso negativo. La derivata viene
$60x^3-174x^2+54-k=0$
Se calcoliamo la derivata seconda
$180x^2-348x>=0$
Otteniamo come soluzioni $x<=0\cup x>348/100$ l'ultima parte non conta perchè stiamo considerando caso x<1
In altre parole, la derivata prima sarà decrescente per x compreso fra 0 e 1, e sarà crescente per x minore di 0. Poichè f'(0) = 54 e f'(1)<0, esisterà un punto (compreso tra 0 e 1) in cui la derivata prima si annulla. Chiamato $\alpha$ questo punto, dal segno della derivata prima si deduce che per x=alfa si ha un punto di massimo. Inoltre, visto che il limite per x che tende a 0 risulta - infinito, Se il massimo (cioè la f di alfa) è positivo, risultano due zeri minori di 1 (è la condizione che mi serve, visto che so già come ottenere uno zero maggiore di 1 dal caso precedente che qui ometto). In poche parole, ho bisogno di trovare i valori di k per cui
$f(\alpha) >0$. Cme posso fare?
$20x^3-87x^2-54|log x| = k$ al variare del parametro k.
TENTATA RISOLUZIONE.
Innanzitutto possiamo scomporre la funzione nel modo seguente
$20x^3-87x^2-54 log x =k$ se $log x >=0\implies x>=1$
$20x^3-87x^2+54 log x =k$ se $log x >=0\implies x<1$
Avendo già risolto il caso "positivo", andiamo direttamente nel caso negativo. La derivata viene
$60x^3-174x^2+54-k=0$
Se calcoliamo la derivata seconda
$180x^2-348x>=0$
Otteniamo come soluzioni $x<=0\cup x>348/100$ l'ultima parte non conta perchè stiamo considerando caso x<1
In altre parole, la derivata prima sarà decrescente per x compreso fra 0 e 1, e sarà crescente per x minore di 0. Poichè f'(0) = 54 e f'(1)<0, esisterà un punto (compreso tra 0 e 1) in cui la derivata prima si annulla. Chiamato $\alpha$ questo punto, dal segno della derivata prima si deduce che per x=alfa si ha un punto di massimo. Inoltre, visto che il limite per x che tende a 0 risulta - infinito, Se il massimo (cioè la f di alfa) è positivo, risultano due zeri minori di 1 (è la condizione che mi serve, visto che so già come ottenere uno zero maggiore di 1 dal caso precedente che qui ometto). In poche parole, ho bisogno di trovare i valori di k per cui
$f(\alpha) >0$. Cme posso fare?
Non ho letto tutto il tuo post ma ho visto che hai scritto male qualche drivata.
Io ho ragionato così.
$f(x)=20x^3-87x^2-54|logx|-k$.
Scomponi il modulo come hai fatto te. (Attenzione che in $x=1$ non è derivabile a funzione).
Innanzitutto $x>0$.
$f$ è continua ed il suo limite a $0^+$ ed $+infty$ valgono $-infty$ e $+infty$.
Questo ci dice che sicuramente da qualche parte c'è uno 0.
Ora studio di funzione.
Se calcoli le derivate troverai che questa ha due punti particolari (non mi ricordo come si dice mi pare stazionari).
Uno è $x_1=3$ l'altro (quello infame) è dato dalla soluzione ($0
A questo punto a me vengono un po di situazioni (che ora ti lascio), che a seconda del comportamento di k ti daranno
1 sola soluzione
2 soluzioni
3 souzioni.
Io ho ragionato così.
$f(x)=20x^3-87x^2-54|logx|-k$.
Scomponi il modulo come hai fatto te. (Attenzione che in $x=1$ non è derivabile a funzione).
Innanzitutto $x>0$.
$f$ è continua ed il suo limite a $0^+$ ed $+infty$ valgono $-infty$ e $+infty$.
Questo ci dice che sicuramente da qualche parte c'è uno 0.
Ora studio di funzione.
Se calcoli le derivate troverai che questa ha due punti particolari (non mi ricordo come si dice mi pare stazionari).
Uno è $x_1=3$ l'altro (quello infame) è dato dalla soluzione ($0
A questo punto a me vengono un po di situazioni (che ora ti lascio), che a seconda del comportamento di k ti daranno
1 sola soluzione
2 soluzioni
3 souzioni.
non c'è un modo analitico per risolvere quell'equazione...o cmq vedere DOV'è quel massimo?
"newton_1372":
non c'è un modo analitico per risolvere quell'equazione...o cmq vedere DOV'è quel massimo?
Eh...non saprei bene come attaccarla.
Proseguil o studio che devi fare considerando $x_2$ e $y_2$che all'incirca è uguale a -54
MMmmm ma questo -54 come te lo trovi?
Calcolandolo
Non capisco!
f(.62)=-54 circa co k=0
Non capisco...stai dando per scontato che alfa = 0.62...ma questo è ciò che vorrei trovarmi ANALITICAMENTE...COME faccio a sapere che alfa è a 0.62? Vorrei un metodo analitico
L'unico modo algebrico (non analitico) che puoi usare sono le formule del Cardano per la risoluzione delle equazioni di terzo grado:
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_terzo_grado
(Personalmente, in tutta la mia "carriera", non ho mai sentito la necessità di doverle usare.)
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_terzo_grado
(Personalmente, in tutta la mia "carriera", non ho mai sentito la necessità di doverle usare.)
E non c'è altro metodo:S?
"Rigel":
L'unico modo algebrico...
Se vuoi la soluzione esatta, espressa per radicali, no.
//Con quel modo quindi ottengo la soluzione esatta?
Sì; ribadisco quanto affermato nel precedente messaggio.
(Stai cercando di sfinirmi, vero?)
(Stai cercando di sfinirmi, vero?)
Sono io ad essere sfinito!:S Non riesco a farne nemmeno uno completo!:;S Vedesi anche il post successivo! CHE TRISTEZZA!!!
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Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
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