Numero uguale al suo opposto
Salve forum! Nel calcolare un limite mi sono trovato davanti un trick che non riesco a sbrogliare, mi aiutereste?
Tutto è iniziato con
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \quad (x-2) \frac{x^2+4}{4-x^2} \sqrt{\frac{x+1}{1-x}} = \lim_{x \rightarrow 2} \quad (x-2) \frac{x^2+4}{-(x-2)(2+x)} \sqrt{\frac{x+1}{1-x}}=\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 2} \quad - \frac{x^2+4}{2+x} \sqrt{\frac{x+1}{1-x}} = -2 \sqrt{\frac{3}{-1}} \)
Ma qui è sorto il mio dilemma perché trovo
\(\displaystyle \sqrt{\frac{3}{-1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{3}}{i} = -i \sqrt{3} \)
ma anche
\(\displaystyle \sqrt{\frac{3}{-1}} = \sqrt{-3} = i\sqrt{3} \)
quindi avrei
\(\displaystyle -i \sqrt{3} = i\sqrt{3} \)
Tutto è iniziato con
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \quad (x-2) \frac{x^2+4}{4-x^2} \sqrt{\frac{x+1}{1-x}} = \lim_{x \rightarrow 2} \quad (x-2) \frac{x^2+4}{-(x-2)(2+x)} \sqrt{\frac{x+1}{1-x}}=\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 2} \quad - \frac{x^2+4}{2+x} \sqrt{\frac{x+1}{1-x}} = -2 \sqrt{\frac{3}{-1}} \)
Ma qui è sorto il mio dilemma perché trovo
\(\displaystyle \sqrt{\frac{3}{-1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{3}}{i} = -i \sqrt{3} \)
ma anche
\(\displaystyle \sqrt{\frac{3}{-1}} = \sqrt{-3} = i\sqrt{3} \)
quindi avrei
\(\displaystyle -i \sqrt{3} = i\sqrt{3} \)

Risposte
se un numero complesso è soluzione di un'equazione, il suo coniugato sarà anche lui soluzione della stessa equazione.
Il dominio della funzione $f(x)= (x-2)*[(x^2+4)/(4-x^2)]*sqrt((x+1)/(1-x))$ è $[-1,1) $, quindi non ha senso fare $lim_{x->2} f(x)$
@capua-tony93 quello che dici è vero, ma non è vero che un numero complesso è uguale al suo coniugato
@Gi8 sto lavorando nel campo dei numeri complessi
@Gi8 sto lavorando nel campo dei numeri complessi
"lalchimista":
[...]
quindi avrei
\(\displaystyle -i \sqrt{3} = i\sqrt{3} \)
... che ovviamente è falso.
La radice \(n\)-esima di una variabile complessa è una funzione polidroma.
Quindi se io stessi lavorando nel primo foglio di Riemann con \(\displaystyle z \rightarrow 2 \) dovrei scegliere quella positiva?