Numero soluzioni indipendenti equazione differenziale

[jackj]

Buongiorno, durante il corso il professore ha risolto un'equazione differenziale ricavando come risultato:
$ varphi =[A_nr^n+B_n/(r^(n+1))]Y_m $
diciamo che il "pezzo" $ Y_m $ deriverebbe da una separazione delle variabili. Ora al di là della separazione delle variabili quello che mi lascia sorpreso è la sua affermazione che dice:
"Questa equazione ammette un numero di soluzioni indipendenti pari a 2n+1"
Ora onde evitare di fare figuracce all'esame vorrei capire in base a cosa è vera tale affermazione, generalmente per un'equazione differenziale abbiamo 2 soluzioni linearmente indipendenti, il fatto che si giunge è 2n+1 potrebbe dipendere dal fatto che le soluzioni in A e B hanno grado n e n+1 e quindi in totale viene 2n+1 soluzioni linearmente indipendenti?
Perdonatemi la banalità della domanda, ma l'esame di Algebra e geometria così come quello di Analisi 1 e 2 risalgono a quasi 5 anni fa e sui vecchi appunti non ho trovato nulla.

[dissonance]

E qual è l'equazione differenziale?

[jackj]

credevo bastasse vedere solo il risultato per la risposta, comunque si risolve l'equazione di Laplace in coordinate sferiche:
$ nabla^2varphi=0 $

ponendo $ varphi=R(r)Theta(theta)Phi(phi)=R(r)Y(theta,phi) $ per separare le variabili, in coordinate sferiche si giunge all'equazione differenziale:

$ 1/R(partial )/(partial r)[r^2(partial R(r))/(partial r)] + 1/(Theta(theta)sen(theta) )(partial )/( partial theta)[sen(theta)(partial Theta(theta))/(partial theta)]+ 1/(Phi(phi ) sen^2(theta) )(partial^2 Phi(phi ))/(partial phi^2) = 0 $

ponendo $ Y=Theta(theta)Phi(phi ) $ moltiplicando inoltre entrambi i membri per $ Y $ e ponendo

$ lambda = 1/R(partial )/(partial r)[r^2(partial R(r))/(partial r)] $

si giunge a
$ 1/(sen(theta) )(partial )/(partial theta)[sen(theta)(partial Y)/(partial theta)]+ 1/ (sen^2(theta) )(partial^2 Y)/(partial phi^2) = -lambdaY $

poi il prof fa una cosa strana introducendo la notazione $ Delta_Sigma Y=-lambdaY $ dove il $ Delta_Sigma Y $ è l'operatore di Laplace Beltrami, ponendo poi un' ansatz :
$ R=Cr^n $
ricava che $ lambda=n(n+1) $
e infine $ R=Ar^n+Br^-(n+1) $

avendo poi posto a monte che $ varphi =RY $ si ottiene quanto scritto nel post precedente

[dissonance]

Ci voleva questa precisazione (grazie), perché altrimenti non si capiva il senso dell'affermazione del prof. Tu dici che una equazione differenziale ordinaria (EDO) ha sempre due soluzioni linearmente indipendenti; non è esattamente così, questo è vero solo per le EDO lineari omogenee.

In ogni caso, qui il problema è diverso. Il professore si riferisce al numero di soluzioni dell'equazione *alle derivate parziali* (e quindi non una EDO) $\Delta_{\Sigma} Y = -\lambda Y$ per fissato valore di $\lambda$. Le soluzioni di questa equazione si chiamano *armoniche sferiche*.

[jackj]

Ok, ora inizio a capire perché non mi ritrovo sta roba nei vecchi corsi, ma quindi il perché del "2n+1 soluzioni indipendenti" da dove lo potrei dedurre?

*EDIT*
Ovviamente grazie per la risposta