Numero soluzioni equazione trigonometrica
Ciao a tutti,
su un tema d'esame di analisi I è venuto fuori un esercizio (una parte di un esercizio a dire il vero) in cui, dopo aver studiato la funzione
$f(x)=xsqrt(x^2-1)$
e dopo averne tracciato il grafico, viene richiesto di contare le soluzioni della seguente equazione
$sen(xsqrt(x^2-1))=1$
Io ho pensato che il seno di una qualsiasi funzione è uno quando la f(x) è pari a 90° (1,5707), però poi come procedere?
Credo sia più semplice di quello che sembra, anche perché non dice di determinare le soluzioni ma solo di contarle. A me vien fuori un'equazione di quarto grado, quindi presumo 4 soluzioni?
Grazie!
su un tema d'esame di analisi I è venuto fuori un esercizio (una parte di un esercizio a dire il vero) in cui, dopo aver studiato la funzione
$f(x)=xsqrt(x^2-1)$
e dopo averne tracciato il grafico, viene richiesto di contare le soluzioni della seguente equazione
$sen(xsqrt(x^2-1))=1$
Io ho pensato che il seno di una qualsiasi funzione è uno quando la f(x) è pari a 90° (1,5707), però poi come procedere?
Credo sia più semplice di quello che sembra, anche perché non dice di determinare le soluzioni ma solo di contarle. A me vien fuori un'equazione di quarto grado, quindi presumo 4 soluzioni?
Grazie!
Risposte
Le soluzioni dell'equazione sono tutti e soli i valori di $x$ tali che:
\[
x\sqrt{x^2-1} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\qquad \text{con } k\in \mathbb{Z}\; .
\]
Dato che, come avrai già calcolato, risulta:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} x\sqrt{x^2-1} = \pm \infty\; ,
\]
visto che la funzione è continua nel suo dominio \(]-\infty , -1]\cup [1,+\infty[\) e visto che la sua immagine coincide con tutto $RR$, è evidente che ogni equazione $x\sqrt{x^2-1} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ha almeno una soluzione; d'altra parte, il fatto che la funzione $x sqrt(x^2 - 1)$ sia strettamente monotòna, ti assicura che ognuna delle equazioni $x\sqrt{x^2-1} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ha in realtà unica soluzione per ogni $k in ZZ$.
Detto ciò, è chiaro che ci sono infiniti valori di $x$ tali che $sin(x sqrt(x^2 - 1)) = 1$ e che tali valori formano un insieme numerabile.
\[
x\sqrt{x^2-1} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\qquad \text{con } k\in \mathbb{Z}\; .
\]
Dato che, come avrai già calcolato, risulta:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} x\sqrt{x^2-1} = \pm \infty\; ,
\]
visto che la funzione è continua nel suo dominio \(]-\infty , -1]\cup [1,+\infty[\) e visto che la sua immagine coincide con tutto $RR$, è evidente che ogni equazione $x\sqrt{x^2-1} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ha almeno una soluzione; d'altra parte, il fatto che la funzione $x sqrt(x^2 - 1)$ sia strettamente monotòna, ti assicura che ognuna delle equazioni $x\sqrt{x^2-1} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ha in realtà unica soluzione per ogni $k in ZZ$.
Detto ciò, è chiaro che ci sono infiniti valori di $x$ tali che $sin(x sqrt(x^2 - 1)) = 1$ e che tali valori formano un insieme numerabile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo