Numero soluzioni al variare di k
Ho un polinomio $ x^3 - 3x^2 +k $ mi si chiede di determinare le soluzioni al variare di k.
Si nota subito che per $k=0$ vi sono 3 soluzioni di cui una con molteplicità 2 ( $x=0$ ) e l'altra è $ x=1$ , ancora se $k=2 $ avremo 3 soluzioni distinte $x=1$ ed ancora $ x= 1 +- sqrt3$.
dovendo fare un discorso generale tirerei in ballo la Derivata nel senso che Derivando noto che avrò : $ 3x^2 -6x$ le cui soluzioni sono $ x=0 ; x=3$ ed in particolare facendo l'analisi del segno della derivata prima si puo' notare come la funzione (che parte da $-oo $ e raggiunge $+infty$ sia crescente prima dello $0$ poi decrescente tra $0$ e $3$ ed ancora crescente dopo $ 3$.
E quindi si puo' dire che per k>0 si hanno sicuramente almeno 3 soluzioni se k> 4 .Mentre se k= 0 abbiamo 2 soluzioni mentre se k<0 abbiamo solo una soluzione.
Queste sono le mie considerazioni.
Vi sembrano giuste ?
Si nota subito che per $k=0$ vi sono 3 soluzioni di cui una con molteplicità 2 ( $x=0$ ) e l'altra è $ x=1$ , ancora se $k=2 $ avremo 3 soluzioni distinte $x=1$ ed ancora $ x= 1 +- sqrt3$.
dovendo fare un discorso generale tirerei in ballo la Derivata nel senso che Derivando noto che avrò : $ 3x^2 -6x$ le cui soluzioni sono $ x=0 ; x=3$ ed in particolare facendo l'analisi del segno della derivata prima si puo' notare come la funzione (che parte da $-oo $ e raggiunge $+infty$ sia crescente prima dello $0$ poi decrescente tra $0$ e $3$ ed ancora crescente dopo $ 3$.
E quindi si puo' dire che per k>0 si hanno sicuramente almeno 3 soluzioni se k> 4 .Mentre se k= 0 abbiamo 2 soluzioni mentre se k<0 abbiamo solo una soluzione.
Queste sono le mie considerazioni.
Vi sembrano giuste ?
Risposte
Ciao. Prova per via grafica: $y=3x^2-x^3$ a sistema con $y=k$, fai il grafico della prima (ci metti 3 minuti) e guardi al variare di $k$ quante volte la retta $y=k$ interseca il grafico della curva.
Direi che hai perfettamente ragione . Ma io volevo fare un discorso generale da un punto di vista proprio analitico. Grazie.
"ANTONELLI ":
Direi che hai perfettamente ragione . Ma io volevo fare un discorso generale da un punto di vista proprio analitico. Grazie.
Allora potresti studiare innanzitutto la funzione $y=x^3-3x^2$. Trovi se ha dei massimi/minimi: essendo un polinomio di 3° grado, se ha un massimo allora ha un minimo, e viceversa (per quanto sia scontato, puoi dimostrarlo con qualche discorsetto sulla derivata di un generico polinomio di grado 3).
Nell'ipotesi che abbia un massimo $M$ e un minimo $m$, per $m
Ciao!
Giuseppe
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